Tangentialebene

Tangentialebene Definition

Bei Funktionen mit 2 Variablen kann man nicht mehr wie bei einer Funktion mit einer Variablen eine Tangente an den Funktionsgraphen zeichnen (eine Gerade, die den Funktionsgraph berührt, nicht schneidet); dafür kann man eine Tangentialebene der Funktion bestimmen.

Tangentialebene berechnen

Für eine Funktion kann man die Tangentialebene in einem bestimmten Punkt wie folgt berechnen:

Beispiel: Tangentialebene bestimmen

Die Funktion sei $f(x, y) = x^2 + y^3$. Der Punkt sei (1, 2), also x = 1 und y = 2.

Zuerst werden die 1. partiellen Ableitungen der Funktion nach x und nach y berechnet:

$f_x (x, y) = 2x$

$f_y(x, y) = 3y^2$

Dann werden die Werte des Punktes (in dem die Tangentialebene anliegen soll) eingesetzt:

$f_x(1, 2) = 2 \cdot 1 = 2$

$f_y(1, 2) = 3 \cdot 2^2 = 3 \cdot 4 = 12.$

Der Funktionswert für f(x, y) an dem Punkt (1, 2) ist: f(1, 2) = 12 + 23 = 1 + 8 = 9.

Tangentialebene berechnen

Dann berechnet sich die Tangentialebene z allgemein nach folgender Formel:

$$z = f_x(x_0, y_0) \cdot (x - x_0) + f_y(x_0, y_0) \cdot (y - y_0) + f(x_0, y_0)$$

Und für das Beispiel mit x0 = 1 und y0 = 2:

$$z = f_x(1, 2) \cdot (x - 1) + f_y(1, 2) \cdot (y - 2) + f(1, 2)$$

$$= 2 \cdot (x - 1) + 12 \cdot (y - 2) + 9$$

$$= 2x - 2 + 12y - 24 + 9$$

$$= 2x + 12y - 17$$