Orthogonale Vektoren
Orthogonale Vektoren Definition
Zwei Vektoren sind orthogonal zueinander (stehen senkrecht aufeinander, das heißt im 90-Grad-Winkel – orthogonal griechisch für rechtwinklig), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist (Skalarprodukt heißt: die beiden 2 Vektoren werden miteinander multipliziert und das Ergebnis ist eine reelle Zahl (Skalar), kein Vektor).
(Hinweis: Das Skalarprodukt ist auch immer 0, wenn einer der beiden Vektoren oder beide Nullvektoren sind; in dem Fall liegt aber keine „nutzbare“ Orthogonalität im obigen Sinne vor bzw. anders ausgedrückt: der Nullvektor ist immer orthogonal / rechtwinklig zu allen anderen Vektoren des Vektorraums).
Alternative Begriffe: Orthogonalität von Vektoren, Orthogonalitätskriterium, Senkrechte Vektoren.
Beispiel
Beispiel: Orthogonale Vektoren
Das Beispiel zum Skalarprodukt soll hier etwas absurd abgewandelt werden: für die Produktion eines Autos benötigt man nunmehr kein Lenkrad (selbstfahrendes Auto?), jedoch weiterhin 4 Reifen; als Vektor:
$$a = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Der Einkaufspreis für Lenkräder sei 200 € pro Stück und die Reifen kosten 0 € pro Stück, sind also kostenlos; die Einkaufspreise als Vektor:
$$b = \begin{pmatrix} 200 \\ 0 \end{pmatrix}$$
Dann stellt das Skalarprodukt wieder die gesamtem Einkaufskosten (in €) dar:
$$a \cdot b = \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 200 \\ 0 \end{pmatrix} = 0 \times 200 + 4 \times 0 = 0 + 0 = 0.$$
Das Skalarprodukt ist 0, die beiden Vektoren sind orthogonal zueinander.
Interpretation
Die beiden Vektoren wirken nicht zusammen: da wo Mengen sind, sind keine Preise; und umgekehrt.
Orthogonalen Vektor bestimmen
Im obigen Beispiel haben wir überprüft, ob die beiden Vektoren orthogonal zueinander sind.
Nun versuchen wir, einen orthogonalen Vektor zu einem gegebenen Vektor zu bestimmen.
Dazu nehmen wir folgenden Vektor a mit 3 Zahlenwerten und den Vektor b mit 3 Unbekannten:
$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$$
$$b = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}$$
Das Skalarprodukt muss 0 sein, also:
$$1 \cdot x + 2 \cdot y + 3 \cdot z = 0$$
Wir können nun 2 der Unbekannten frei bestimmen, die 3. Unbekannte ergibt sich dann.
Zum Beispiel mit x = 1 und y = 4:
$$1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot z = 0$$
$$1 + 8 + 3 \cdot z = 0$$
Daraus folgt, dass z = -3 sein muss.
Ein zu a orthogonaler Vektor b wäre also:
$$b = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$
Kontrolle:
$$a \cdot b = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ -3 \end{pmatrix}$$
$$= 1 \cdot 1 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot (-3) = 1 + 8 - 9 = 0$$
Es gibt noch unzählige andere orthogonale Vektoren zu a (wenn man x und y jeweils anders wählt).