Spatprodukt Definition
Hat man 3 Vektoren, berechnet man das Spatprodukt so:
Erstens: 2 Vektoren werden als Vektorprodukt bzw. Kreuzprodukt berechnet; das Ergebnis ist ein Vektor.
Zweitens: Aus dem Ergebnisvektor und dem 3. Vektor wird das Skalarprodukt berechnet, das Ergebnis ist ein Skalar (also eine Zahl, kein Vektor).
Damit kann man z. B. ein Volumen oder eine Determinante berechnen.
Beispiel
Beispiel: Spatprodukt berechnen
Wir nehmen die Matrix aus dem Beispiel zur Regel von Sarrus:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$$
Die 3 Spalten der Matrix sind 3 (Spalten-)Vektoren, für die wir das Spatprodukt berechnen.
Das Ergebnis ist die Determinante.
1. Schritt: Vektorprodukt berechnen
Wir berechnen das Vektorprodukt für die beiden linken Vektoren, die wir mit a und b bezeichnen:
$$\begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix}$$
$$\begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 7 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \\ 8 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 4 \cdot 8 - 7 \cdot 5 \\ 7 \cdot 2 - 1 \cdot 8 \\ 1 \cdot 5 - 4 \cdot 2 \end{pmatrix}$$
$$=\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix}$$
2. Schritt: Skalarprodukt berechnen
Nun berechnen wir das Skalarprodukt aus dem Ergebnisvektor (des Vektorprodukts) und dem rechten Spaltenvektor der Matrix.
$$\begin{pmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 6 \\ 9 \end{pmatrix} = (-3) \times 3 + 6 \times 6 + (-3) \times 9 = -9 + 36 - 27 = 0$$
Das Ergebnis von 0 stimmt mit dem Wert für die Determinante überein, wie mit der Regel von Sarrus berechnet.
Fazit
- Das Spatprodukt kombiniert Vektorprodukt und Skalarprodukt: (a × b) · c. Das Ergebnis ist ein Skalar.
- Es entspricht der Determinante der aus den drei Vektoren gebildeten Matrix.
- Spatprodukt = 0 bedeutet: die drei Vektoren sind linear abhängig (koplanar).
- Geometrisch gibt der Betrag des Spatprodukts das Volumen des von den Vektoren aufgespannten Spats (Parallelepiped) an.
Selbsttest: Spatprodukt
Aufgabe: Spatprodukt berechnen
Gegeben sind drei Vektoren (Spalten einer Matrix):
$$a = \begin{pmatrix}1\\3\\0\end{pmatrix}, \quad b = \begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}, \quad c = \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}$$
Berechnen Sie das Spatprodukt (a × b) · c.
1. Schritt: Vektorprodukt a × b:
$$a \times b = \begin{pmatrix}3 \cdot 0 - 0 \cdot 1\\0 \cdot 2 - 1 \cdot 0\\1 \cdot 1 - 3 \cdot 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix}$$
2. Schritt: Skalarprodukt mit c:
$$(a \times b) \cdot c = \begin{pmatrix}0\\0\\-5\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix} = 0 + 0 + (-5) \cdot 2 = -10$$
Das Spatprodukt ist −10. Dies entspricht der Determinante der aus a, b, c gebildeten Matrix.