Skalarprodukt
Definition
Das Skalarprodukt resultiert daraus: es werden zum Beispiel 2 Vektoren multipliziert und das Ergebnis ist eine reelle Zahl (Skalar), kein Vektor (sonst wäre es ein Vektorprodukt).
Alternative Begriffe: Inneres Produkt.
Beispiel
Im Vektor-Beispiel brauchte man für die Produktion eines Autos ein Lenkrad und 4 Reifen und dies ließ sich als Vektor darstellen:
$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$
Nun soll es noch einen zweiten Vektor geben, der die Einkaufspreise für Lenkräder (200 € pro Stück) und Reifen (50 € pro Stück) darstellt:
$$b = \begin{pmatrix} 200 \\ 50 \end{pmatrix}$$
Skalarprodukt berechnen
$$a \cdot b = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 200 \\ 50 \end{pmatrix} = 1 \times 200 + 4 \times 50 = 200 + 200 = 400.$$
Bedeutung
Das Skalarprodukt stellt hier die gesamtem Einkaufskosten (in €) dar.
Formel
Allgemein als Formel:
$$a \cdot b = \sum_{i=1}^n (a_i \cdot b_{i})$$
Für dreidimensionale Vektoren sieht das so aus:
$$a \cdot b = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}$$
Es wird also immer die erste Komponente des ersten Vektors mit der ersten Komponente des zweiten Vektors multipliziert, anschließend die zweite Komponente des zweiten Vektors mit der zweiten Komponente des zweiten Vektors multipliziert und so weiter; die sich daraus ergebenden Produkte werden aufaddiert, das Ergebnis ist das Skalarprodukt.