Skalarprodukt

Beispiel: Skalarprodukt berechnen

Im Vektor-Beispiel brauchte man für die Produktion eines Autos ein Lenkrad und 4 Reifen und dies ließ sich als Vektor darstellen:

$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix}$$

Nun soll es noch einen zweiten Vektor geben, der die Einkaufspreise für Lenkräder (200 € pro Stück) und Reifen (50 € pro Stück) darstellt:

$$b = \begin{pmatrix} 200 \\ 50 \end{pmatrix}$$

Dann stellt das Skalarprodukt die gesamtem Einkaufskosten (in €) dar:

$$a \cdot b = \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 200 \\ 50 \end{pmatrix} = 1 \times 200 + 4 \times 50 = 200 + 200 = 400.$$

Formel

Allgemein als Formel:

$$a \cdot b = \sum_{i=1}^n (a_i \cdot b_{i})$$

Für dreidimensionale Vektoren sieht das so aus:

$$a \cdot b = \begin{pmatrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{pmatrix} = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}$$

Es wird also immer die erste Komponente des ersten Vektors mit der ersten Komponente des zweiten Vektors multipliziert, anschließend die zweite Komponente des zweiten Vektors mit der zweiten Komponente des zweiten Vektors multipliziert und so weiter; die sich daraus ergebenden Produkte werden aufaddiert, das Ergebnis ist das Skalarprodukt.