Partielle Integration

Partielle Integration Definition

Das Integrieren von Produkten – z.B. $x \cdot ln(x)$ – kann schwierig sein. Hier hilft eventuell die partielle Integration.

Die Formel für die partielle Integration enthält 2 Funktionen und 2 abgeleitete Funktionen und lautet:

$$\int f(x) \cdot g'(x) \, dx = f (x) \cdot g(x) - \int f'(x) \cdot g(x) \, dx$$

Das Integral $\int x \cdot ln(x)$ (also x mal der natürliche Logarithmus von x) bzw. die Stammfunktion soll berechnet werden.

Dabei ist x gut integrierbar, ln (x) hingegen schwer.

Nun wird die Funktion, die leicht integrierbar ist (für die leicht eine Stammfunktion gefunden werden kann), als g'(x) gesetzt: g'(x) = x.

Eine Stammfunktion (eine Funktion, die abgeleitet x ergibt), ist z.B. einfach $\frac{1}{2} \cdot x^2$.

Dann wird ln(x) als f(x) gesetzt; die 1. Ableitung davon ist f '(x) = 1/x (Ableitung natürlicher Logarithmus).

In die obige Formel eingesetzt:

$$\int ln(x) \cdot x \, dx = ln(x) \cdot \frac{1}{2}x^2 - \int \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} x^2 \, dx$$

$$\int ln(x) \cdot x \, dx = ln(x) \cdot \frac{1}{2}x^2 - \int \frac{x}{2} \, dx$$

Eine Stammfunktion für $\int \frac{x}{2} \, dx$ ist z.B. $\frac{x^2}{4}$; diese für das Integral eingesetzt ergibt:

$$= \frac{x^2}{2} \cdot ln(x) - \frac{x^2}{4}$$

Um die Stammfunktion F(x) zu erhalten, wird abschließend noch die Konstante C addiert:

$$F(x) = \frac{x^2}{2} \cdot ln(x) - \frac{x^2}{4} + C$$