Stammfunktion Bruch

Stammfunktion Bruch Definition

Wie immer bei der Suche nach Stammfunktionen hat man hat eine abgeleitete Funktion – hier einen Bruch – vor sich und sucht nun eine Funktion (Stammfunktion), welche abgeleitet die vorliegende Funktion bzw. den Bruch ergibt.

Bei Stammfunktionen von Brüchen muss man nach der Art des Bruches unterscheiden:

Bruch mit x im Zähler

Ein Bruch mit x im Zähler wie $\frac{x}{2}$ kann auch als $\frac{1}{2} \cdot x$ geschrieben werden, so dass man ein x mit einem Faktor hat.

Eine Stammfunktion dazu wäre zum Beispiel $F(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2 + 3$ (ergibt abgeleitet $\frac{1}{2} \cdot x$); eine weitere Stammfunktion wäre $F(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2 + 27$ (da die Konstante beim Ableiten immer wegfällt); Allgemein: $F(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2 + C$ (mit C für Konstante).

Bruch mit x im Nenner

Eine Stammfunktion eines Bruches mit x im Nenner wie zum Beispiel $\frac{1}{x^2}$ ist $F(x) = -x^{-1}$.

Nachweis

Leitet man $F(x) = -x^{-1}$ ab (Ableitung einer Potenzfunktion), erhält man:

$F'(x) = (-1) \cdot -x^{(-1 -1)} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Auch $F(x) = -x^{-1} + 7$ oder allgemein $F(x) = -x^{-1} + C$ (mit einer Konstanten C) sind Stammfunktionen von $\frac{1}{x^2}$, da Konstanten bei der Ableitung wegfallen.

Wie kommt man hier allgemein zur Lösung? Wenn x im Nenner steht, schreibt man den Term einfach um:

Aus $\frac{1}{x^2}$ wird dann $x^{-2}$. Aus $\frac{1}{x^3}$ wird dann $x^{-3}$ usw.

Und dafür lässt sich mit der Potenzregel der Integration die Stammfunktion finden:

$$F(x)= \frac{x^{n + 1}}{n + 1}$$

Für $\frac{1}{x^2} = x^{-2}$ mit n = -2:

$$F(x)= \frac{x^{-2 + 1}}{-2 + 1}$$

$$= \frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1} = -\frac{1}{x}$$

Abschließend die Addition der Konstanten nicht vergessen.

Bruch $\frac{1}{x}$

Hat man einen Bruch $\frac{1}{x}$, ist die Stammfunktion der natürliche Logarithmus ln(x), da dieser abgeleitet $\frac{1}{x}$ ist.

Bruchterme

Bruchterme löst man in Einzelbrüche auf, die dann wie gewohnt behandelt werden:

Beispiel

$$f(x)= \frac{x^2 - 2}{x^2}$$

$$f(x)= \frac{x^2}{x^2} - \frac{2}{x^2}$$

$$f(x)= 1 - \frac{2}{x^2} = 1 - 2 \cdot x^{-2}$$

Stammfunktion finden:

$$F(x)= x - 2 \cdot -\frac{1}{x} + C$$

(Erster Bestandteil des Terms: was ergibt abgeleitet 1? Antwort: x; zweiter Bestandteil des Terms: wie oben mit der Potenzregel für Integrale hergeleitet ergibt $-x^{-1} = -\frac{1}{x}$ abgeleitet $x^{-2}$; dritter Bestandteil des Terms: Konstante C hinzuaddieren)

Weiter vereinfacht:

$$F(x)= x + \frac{2}{x} + C$$

(Kontrolle: x abgeleitet ergibt 1; $\frac{2}{x} = 2 \cdot x^{-1}$ abgeleitet ist $-2 \cdot x^{-2} = -\frac{2}{x^2}$; die Konstante C abgeleitet fällt weg)

Fazit

Stammfunktionen für Brüche findet man in der Regel dadurch, dass man die Terme umschreibt und den Brüchen sozusagen aus dem Weg geht.

Alternative Begriffe: Aufleiten Bruch, Aufleiten von Brüchen, Bruch aufleiten, Brüche aufleiten, Brüche integrieren, Stammfunktion von Brüchen.