Stammfunktion Bruch

Stammfunktion Bruch Definition

Wie immer bei der Suche nach Stammfunktionen hat man hat eine abgeleitete Funktion – hier einen Bruch – vor sich und sucht nun eine Funktion (Stammfunktion), welche abgeleitet die vorliegende Funktion bzw. den Bruch ergibt.

Bei Stammfunktionen von Brüchen muss man nach der Art des Bruches unterscheiden:

Bruch mit x im Zähler

Ein Bruch mit x im Zähler wie $\frac{x}{2}$ kann auch als $\frac{1}{2} \cdot x$ geschrieben werden, so dass man ein x mit einem Faktor hat.

Eine Stammfunktion dazu wäre z. B. $F(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2 + 3$ (ergibt abgeleitet $\frac{1}{2} \cdot x$); eine weitere Stammfunktion wäre $F(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2 + 27$ (da die Konstante beim Ableiten immer wegfällt); Allgemein: $F(x) = \frac{1}{4} \cdot x^2 + C$ (mit C für Konstante).

Bruch mit x im Nenner

Eine Stammfunktion eines Bruches mit x im Nenner wie z.B. $\frac{1}{x^2}$ ist $F(x) = -x^{-1}$.

Nachweis

Leitet man $F(x) = -x^{-1}$ ab (Ableitung einer Potenzfunktion), erhält man:

$F'(x) = (-1) \cdot -x^{(-1 -1)} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.

Auch $F(x) = -x^{-1} + 7$ oder allgemein $F(x) = -x^{-1} + C$ (mit einer Konstanten C) sind Stammfunktionen von $\frac{1}{x^2}$, da Konstanten bei der Ableitung wegfallen.

Bruch $\frac{1}{x}$

Hat man einen Bruch $\frac{1}{x}$, ist die Stammfunktion der natürliche Logarithmus ln(x), da dieser abgeleitet $\frac{1}{x}$ ist.

Alternative Begriffe: Aufleiten Bruch, Aufleiten von Brüchen, Bruch aufleiten, Brüche aufleiten, Brüche integrieren, Stammfunktion von Brüchen.