Stammfunktion Wurzel

Allgemeines Vorgehen

Zunächst wird die Wurzel umgeschrieben in eine Potenzfunktion:

Aus $\sqrt{x}$ wird $x^{\frac{1}{2}}$.

Als nächstes wird eine Funktion gesucht, die abgeleitet $x^{\frac{1}{2}}$ ergibt. Dazu wendet man die Potenzregel der Integration an (und berücksichtigt auch gleich die Konstante C, die beim Ableiten immer wegfällt):

Für eine Funktion $f(x) = x^n$ ist die dazugehörige Stammfunktion $F(x) = \frac{x^{n + 1}}{n + 1} + C$.

Der Exponent n ist hier $\frac{1}{2}$, dann ist die Stammfunktion:

$$F(x) = \frac{x^{\frac{1}{2} + 1}}{\frac{1}{2} + 1} + C$$

$$= \frac{x^\frac{3}{2}}{\frac{3}{2}} + C$$

$$= \frac{2}{3} \cdot x^\frac{3}{2} + C$$

Wenn man noch einen Schritt weitergeht und die Potenz in der Stammfunktion nun wieder in eine Wurzel umwandelt:

$$= \frac{2}{3} \cdot \sqrt{x^3} + C$$

Komplexere Wurzelterme

Das Umwandeln einer Wurzel in eine Potenzfunktion geht auch mit komplexeren Wurzeln:

So kann beispielsweise $2 \cdot \sqrt{x^3}$ in Potenzschreibweise so dargestellt werden: $2 \cdot x^{\frac{3}{2}}$

Wenn die Wurzeln höher sind als die bisherigen Quadratwurzeln, gilt für die Umwandlung in Potenzen nach den Potenzregeln allgemein:

$$\sqrt[n]{x^m} = x^\frac{m}{n}$$

Mit Beispielzahlen:

$$\sqrt[3]{x^6} = x^\frac{6}{3} = x^2$$

Eine Stammfunktion dafür wäre nach der obigen Potenzregel für Integrale:

$$F(x) = \frac{x^{2 + 1}}{2 + 1} + C = \frac{x^3}{3} + C$$

Zusammengefasst

Um Stammfunktionen für Wurzeln zu finden, geht der Weg – wie auch bei Stammfunktionen von Brüchen – über die Umwandlung in Potenzfunktionen; die Wurzeln verschwinden dadurch.

Anschließend wendet man für die Aufleitung der Wurzel die Potenzregel der Integration an und vereinfacht den Term so weit als möglich.