Definition
Die Symmetrie ist eine weitere mögliche Eigenschaft einer Funktion.
Funktionen können punktsymmetrisch oder achsensymmetrisch sein.
Alternative Begriffe: Symmetrieverhalten.
Beispiele
Beispiel 1: Punktsymmetrie
Punktsymmetrie bedeutet: es gibt einen Punkt, an dem gespiegelt eine Funktion dieselbe Funktion ergibt; ist dieser Punkt der Ursprung / Nullpunkt des Koordinatensystems, gilt: f(-x) = -f(x).
Das ist zum Beispiel bei der Funktion f(x) = x3 so: f(-2) = -23 = -8. Das ist gleich -f(2) = - 23 = - 8.
Alternative Formel: f(x) = -f(-x), also 23 = - -23 = 8.
Die Funktion nennt man dann ungerade Funktion.
Der Graph der Funktion – die kubische Parabel – zeigt die Punktsymmetrie:
Beispiel 2: Achsensymmetrie
Achsensymmetrie bedeutet: es gibt eine Gerade / Achse, an der gespiegelt eine Funktion dieselbe Funktion ergibt (Spiegelsymmetrie); ist diese Gerade die y-Achse, gilt: f(-x) = f(x).
Das ist zum Beispiel bei der Funktion f(x) = x2 so: f(-2) = -22 = 4. Das ist gleich f(2) = 22 = 4.
Die Funktion nennt man dann gerade Funktion.
Der Graph der Funktion – die Normalparabel – zeigt die Achsensymmetrie:
Fazit
- Achsensymmetrie zur y-Achse: f(−x) = f(x) – gilt für gerade Potenzen (x2, x4, …); die Funktion heißt „gerade Funktion“
- Punktsymmetrie zum Ursprung: f(−x) = −f(x) – gilt für ungerade Potenzen (x, x3, x5, …); die Funktion heißt „ungerade Funktion“
- Nachweis: −x einsetzen und prüfen, ob f(−x) = f(x) oder f(−x) = −f(x) gilt; Mischungen aus geraden und ungeraden Potenzen sind im Allgemeinen unsymmetrisch
Selbsttest: Symmetrie von Funktionen
Aufgabe: Symmetrie prüfen
Prüfen Sie, ob f(x) = 2x4 − 5x2 + 1 achsensymmetrisch, punktsymmetrisch oder keines von beidem ist.
Test Achsensymmetrie (f(−x) = f(x)?)
f(−x) = 2(−x)4 − 5(−x)2 + 1 = 2x4 − 5x2 + 1 = f(x) ✓
Test Punktsymmetrie (f(−x) = −f(x)?)
f(−x) = 2x4 − 5x2 + 1 ≠ −(2x4 − 5x2 + 1) = −2x4 + 5x2 − 1 ✗
Ergebnis: f(x) ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Beide Tests müssen unabhängig geprüft werden – hier schließt das positive Ergebnis beim Achsentest die Punktsymmetrie nicht automatisch aus, aber der Test zeigt: Punktsymmetrie liegt nicht vor.