Definition
Nullstellen einer Funktion sind in die Funktion eingesetzte Werte, die einen Funktionswert von 0 ergeben, das heißt f (x) = 0.
Es kann eine, mehrere oder auch keine Nullstelle geben.
Kurzbeispiel: Die Funktion f (x) = 2x - 2 hat eine Nullstelle bei x = 1, denn 2 × 1 - 2 = 2 - 2 = 0.
Grafisch schneidet die Funktion die x-Achse – genau dort befindet sich die Nullstelle:
Ökonomisch werden Nullstellen zum Beispiel bei der Break-Even-Analyse berechnet, um zu sehen, bei welcher Absatzmenge die Gewinnschwelle erreicht wird.
Alternative Begriffe: Nullstellen-Berechnung, Nullstellenberechnung.
Beispiel
Hier soll die Nullstelle einer linearen Funktion berechnet werden:
Ein Standbetreiber verkauft Becher Glühwein auf einem Weihnachtsmarkt.
Der Verkaufspreis pro Stück ist 2 €, die variablen Kosten pro Stück sind 1 € (Einkaufspreis Glühwein) und die Fixkosten (Standgebühr) betragen 150 €.
Wann wird die Gewinnschwelle erreicht? (ein Gewinn von 0 €, kein Verlust mehr).
Mit x für Absatzmenge lautet die Gewinnfunktion f (x):
f (x) = 2x - 1x - 150
In Worten: 2 € mal die Menge x ist der Umsatzerlös; davon gehen die variablen Kosten in Höhe von 1 € mal die Menge x ab und zum Schluss werden die Fixkosten von 150 € abgezogen.
Ist das Ergebnis positiv, gibt es einen Gewinn; ist das Ergebnis negativ, gibt es einen Verlust.
Beispiel für Menge x = 200 Becher:
f (200) = 2 × 200 - 1 × 200 - 150 = 400 - 200 - 150 = 50 (Gewinn).
Nullstelle berechnen
Um die Nullstelle zu berechnen – es kann bei einer linearen Funktion nur eine geben, siehe weiter unten –, setzt man die Funktion gleich 0:
f (x) = 2x - 1x - 150 = 0
x - 150 = 0
x = 150
Bei einer Absatzmenge x gleich 150 Stück ist der Break-Even erreicht: 150 × 2 € - 150 × 1 € - 150 € = 0 €.
Anzahl der Nullstellen
Eine Funktion hat maximal nur so viele Nullstellen, wie ihr Grad ist:
Eine lineare Funktion (enthält ein x1 bzw. x) wie im Beispiel oben ist vom Grad 1 und hat deshalb maximal 1 Nullstelle.
Eine quadratische Funktion (enthält ein x2) ist vom Grad 2 und hat deshalb maximal 2 Nullstellen.
Eine kubische Funktion (enthält ein x3) ist vom Grad 3 und hat deshalb maximal 3 Nullstellen (und mindestens eine Nullstelle).
Eine Funktion 4. Grades (enthält ein x4) hat maximal 4 Nullstellen.
Vielfachheit von Nullstellen
Die Vielfachheit von Nullstellen gibt an, wie oft ein und dieselbe Nullstelle bei einer Funktion auftritt, zum Beispiel
- eine doppelte Nullstelle oder
- eine dreifache Nullstelle.
Fazit
- Eine Nullstelle ist der x-Wert, für den f(x) = 0 gilt – grafisch der Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse
- Lineare Funktion f(x) = mx + b: Nullstelle x = −b/m; quadratische Funktion: p-q-Formel oder Faktorisierung
- Ökonomisch: Nullstelle der Gewinnfunktion G(x) = 0 ergibt die Gewinnschwelle (Break-Even-Menge)
Selbsttest: Nullstellen
Aufgabe: Nullstellen
Ein Unternehmen erzielt pro verkaufter Einheit einen Deckungsbeitrag von 4 €. Die Fixkosten betragen 120 € pro Monat.
Die Gewinnfunktion lautet: G(x) = 4x − 120.
Bestimmen Sie die Nullstelle von G(x) und interpretieren Sie das Ergebnis ökonomisch.
Nullstelle berechnen: G(x) = 0
4x − 120 = 0 → 4x = 120 → x = 30
Interpretation: Bei einer Absatzmenge von 30 Einheiten pro Monat ist die Gewinnschwelle erreicht – das Unternehmen erzielt weder Gewinn noch Verlust (Break-Even-Punkt).