Transponierte Matrix
Transponierte Matrix Definition
Eine transponierte Matrix entsteht aus einer (gegebenen) Matrix, indem die 1. Spalte der gegebenen Matrix die 1. Zeile der transponierten Matrix wird, die 2. Spalte der gegebenen Matrix die 2. Zeile der transponierten Matrix und so weiter.
Alternative Begriffe: Matrix transponieren, Matrix-Transposition, Transposition Matrix.
Beispiel
Beispiel Transponierte Matrix (mit 2 Zeilen und 2 Spalten)
Die Beispiel-Matrix sei:
$$A = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix}$$
Dann ist die transponierte Matrix:
$$A^T = \begin{pmatrix}2 & 6 \\ 3 & 12 \end{pmatrix}$$
Wir nehmen die 1. Spalte mit den Zahlen 2 und 6 und machen daraus die 1. Zeile der Transponierten.
Anschließend nehmen wir die 2. Spalte mit den Zahlen 3 und 12 und machen daraus die 2. Zeile der Transponierten.
Transponiert man anschließend die transponierte Matrix erneut, erhält man wieder die Ausgangsmatrix:
$$(A^T)^T = \begin{pmatrix}2 & 3 \\ 6 & 12 \end{pmatrix} = A$$
Gespiegelte Matrix
Anders formuliert bedeutet transponieren: man spiegelt die Elemente der Matrix an deren Hauptdiagonalen (die Diagonale von oben links nach unten rechts).
Auf der Hauptdiagonalen der Matrix A sitzen die Zahlen 2 und 12. Diese Diagonale bleibt unverändert.
Spiegeln der (anderen) Elemente bedeutet nun, dass die unten links sitzende 6 an der Hauptdiagonalen gespiegelt wird und damit auf die Position oben rechts kommt (da, wo ursprünglich die 3 ist).
Und die oben rechts sitzende 3 kommt durch Spiegelung auf die Position unten links.
An- bzw. Verwendung
Definition und Konzept der transponierten Matrix werden in der Linearen Algebra vielfach „weiterverwendet“:
- Eine orthogonale Matrix ist eine quadratische Matrix, für die gilt: die Matrix A multipliziert mit ihrer transponierten Matrix AT ergibt die Einheitsmatrix;
- Eine symmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die identisch mit ihrer transponierten Matrix ist;
- Eine schiefsymmetrische Matrix ist eine quadratische Matrix, die identisch mit dem Negativen ihrer transponierten Matrix ist.