Zeilenstufenform

Zeilenstufenform Definition

Eine Matrix in Zeilenstufenform sieht z.B. so aus:

$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$

Man könnte hier über den Nullen Treppenstufen einzeichnen, die sie von den anderen Zahlen (Nicht-Nullen) abgrenzen.

Unter der jeweils ersten Nicht-Null-Zahl einer Zeile dürfen nur Nullen stehen (im Beispiel stehen unter der 1 in der 1. Zeile nur Nullen und unter der 4 in der 2. Zeile ebenso; unter der 6 in der 3. Zeile steht nichts mehr).

Weitere Beispiele

Diese 3 × 3 - Matrix ist z.B. nicht in Zeilenstufenform (weil unter der führenden 4 in der zweite Zeile nicht nur Nullen, sondern eine 6 steht):

$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 7 \end{pmatrix}$$

Diese 1 × 3 - Matrix (ein Zeilenvektor) hingegen ist in Zeilenstufenform:

$$\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$

Alternative Begriffe: Stufenform, Zeilen-Stufen-Form.

Reduzierte Zeilenstufenform (Normierte Zeilenstufenform)

Eine Matrix hat eine reduzierte Zeilenstufenform, wenn sie in Zeilenstufenform ist und zusätzlich gilt: in jeder Zeile ist das erste von Null verschiedene Element (sofern es eines gibt) eine 1 und außer diesem Element sind in dessen Spalte nur 0.

So ist z.B. die Einheitsmatrix in reduzierter Zeilenstufenform:

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Aber auch z.B. folgende Matrix:

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Hier ist in der 1. und 2. Zeile jeweils das erste von Null verschiedene Element eine 1, und in deren Spalten 1 und 2 sind alle anderen Elemente ober- und unterhalb der 1 Nullen; in der 3. Zeile gibt es kein von Null verschiedenes Element, deshalb können in der 3. Spalte auch andere Werte als 0 sein.