Zeilenstufenform
Zeilenstufenform Definition
Eine Matrix in Zeilenstufenform sieht beispielsweise so aus:
$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 6 \end{pmatrix}$$
Man könnte hier über den Nullen Treppenstufen einzeichnen, die sie von den anderen Zahlen (Nicht-Nullen) abgrenzen.
Unter der jeweils ersten Nicht-Null-Zahl einer Zeile dürfen nur Nullen stehen (im Beispiel stehen unter der 1 in der 1. Zeile nur Nullen und unter der 4 in der 2. Zeile ebenso; unter der 6 in der 3. Zeile steht nichts mehr).
Weitere Beispiele
Diese 3 × 3 - Matrix ist zum Beispiel nicht in Zeilenstufenform (weil unter der führenden 4 in der zweiten Zeile nicht nur Nullen, sondern eine 6 steht):
$$\begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 0 & 6 & 7 \end{pmatrix}$$
Diese 1 × 3 - Matrix (ein Zeilenvektor) hingegen ist in Zeilenstufenform:
$$\begin{pmatrix}0 & 1 & 2 \end{pmatrix}$$
Alternative Begriffe: Stufenform, Zeilen-Stufen-Form.
Reduzierte Zeilenstufenform (Normierte Zeilenstufenform)
Eine Matrix hat eine reduzierte Zeilenstufenform, wenn sie in Zeilenstufenform ist und zusätzlich gilt: in jeder Zeile ist das erste von Null verschiedene Element (sofern es eines gibt) eine 1 und außer diesem Element sind in dessen Spalte nur Nullen.
So ist beispielsweise die Einheitsmatrix in reduzierter Zeilenstufenform:
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$
Aber auch zum Beispiel folgende Matrix:
$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$
Hier ist in der 1. und 2. Zeile jeweils das erste von Null verschiedene Element eine 1, und in deren Spalten 1 und 2 sind alle anderen Elemente ober- und unterhalb der 1 Nullen; in der 3. Zeile gibt es kein von Null verschiedenes Element, deshalb können in der 3. Spalte auch andere Werte als 0 sein.
Zu jeder Matrix gibt es nur eine reduzierte Zeilenstufenform. Sie lässt sich mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnen.
Anwendung
Lineare Gleichungssysteme lösen
Oft entsteht eine Matrix ja aus einem linearen Gleichungssystem, eine Zeilenstufenform ist in dem Fall deshalb üblicherweise nicht einfach da (das wäre großer Zufall).
Vielmehr überführt man die Matrix in eine Matrix in Zeilenstufenform, etwa durch den Gauß-Algorithmus, da dies zur Lösung des Gleichungssystems führt.
Je nach Umformung kann man zu verschiedenen Zeilenstufenformen kommen (es gibt aber wie oben gesagt jeweils nur eine einzige reduzierte Zeilenstufenform zu einer Matrix).
Rang einer Matrix bestimmen
Liegt die Zeilenstufenform einer Matrix vor, ist der Rang der Matrix die Anzahl der Zeilen, die nicht komplett aus Nullen besteht.