Symmetrische Matrix

Beispiel 1: 3 x 3 - Symmetrische Matrix (mit 3 Zeilen und 3 Spalten)

Die Beispiel-Matrix sei:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 & 3 \\ 2 & 4 & 5 \\ 3 & 5 & 6 \end{pmatrix}$$

Diese Matrix ist quadratisch (sie hat 3 Zeilen und 3 Spalten).

Ihre Elemente sind spiegelbildlich zu der Hauptdiagonalen der Matrix (hier mit den Zahlen 1, 4 und 6).

Die 2 spiegelt sich an der Hauptdiagonalen auf die 2, die 3 auf die 3 und die 5 auf die 5.

Transponiert man die (symmetrische) Matrix, erhält man eine identische Matrix.

Zur Erinnerung: eine transponierte Matrix entsteht aus einer gegebenen Matrix, indem die 1. Spalte der gegebenen Matrix die 1. Zeile der transponierten Matrix wird, die 2. Spalte der gegebenen Matrix die 2. Zeile der transponierten Matrix usw.

Die erste Spalte hat hier die Einträge 1, 2 und 3 und diese werden in der transponierten Matrix die erste Zeile; die zweite Spalte hat hier die Einträge 2, 4 und 5 und diese werden in der transponierten Matrix die zweite Zeile; die dritte Spalte hat hier die Einträge 3, 5 und 6 und diese werden in der transponierten Matrix die dritte Zeile.

Das ergibt wieder dieselbe Matrix wie die Ausgangsmatrix.

Beispiel 2: 2 x 2-Symmetrische Matrix (mit 2 Zeilen und 2 Spalten)

Das wäre eine 2 × 2 symmetrische Matrix:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$$

Spezielle symmetrische Matrizen

Zwei besondere symmetrische Matrizen sind die

• Diagonalmatrix (alle Einträge außer der Einträge auf der Hauptdiagonalen sind 0) und die
• Einheitsmatrix (alle Einträge außer der Einträge auf der Hauptdiagonalen sind 0 und die Einträge auf der Hauptdiagonalen sind alle 1).