Unbestimmtes Integral

Unbestimmtes Integral Definition

Das unbestimmte Integral dient u.a. dazu, aus einer vorgegebenen Ableitung f '(x) die zugrundeliegende Funktion f(x) zu ermitteln, deren Ableitung f '(x) ist. Dieses Problem hat i.d.R. mehrere Lösungen bzw. Integrale – deshalb unbestimmt (im Sinne von nicht eindeutig).

Hat man z.B. eine Funktion f(x) = x² und berechnet die 1. Ableitung dieser Potenzfunktion mit f '(x) = 2x, nennt man das differenzieren.

Integrieren geht in die umgekehrte Richtung: man hat die 1. Ableitung f '(x) = 2x gegeben und möchte nun mittels Integration herausfinden, was die ursprüngliche Funktion war.

Es gibt jedoch mehrere Lösungen, da mehrere Funktionen die gleiche Ableitungsfunktion haben: auch f(x) = x² + 3 ergäbe abgeleitet 2x (Ableitung der Potenzfunktion x² und der Konstanten 3), ebenso f(x) = x² + 5 u.s.w; diese nennt man Stammfunktionen und das unbestimmte Integral der Funktion f(x) ist die Menge aller Stammfunktionen der Funktion f(x).

Im Beispiel ist zwar das x² bestimmt (in jeder Stammfunktion von 2x vorhanden), allerdings ist der gesamte Term wegen der Konstanten unbestimmt.

Schreibweise für unbestimmtes Integral:

$$\int f(x) dx$$

Das Gegenstück ist das bestimmte Integral, das keine Menge (von Stammfunktionen), sondern eine Zahl ist und anders (mit den Integrationsgrenzen a und b) geschrieben wird:

$$\int_a^b f(x) dx$$