Definition
Das Urbild einer Funktion ist eine Menge; diese kann leer sein, ein oder mehrere Elemente enthalten.
Alternative Begriffe: Urbilder.
Beispiele
Beispiel 1
Ist eine Funktion beispielsweise f(x) = 2x und ist diese für die Menge der ganzen Zahlen definiert (also Zahlen wie -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3), dann ist der Funktionswert an der Stelle x = 3: f(3) = 2 × 3 = 6.
Das Urbild von 6 unter der Funktion f(x) = 2x ist dann {3}, also eine Menge mit nur einem Element, der Zahl 3. Man schreibt $f^{-1} (\{6\}) = \{3\}$.
Umgangssprachlich: Nur mit der 3 eingesetzt kommt man auf einen Funktionswert von 6.
Hinweis: Das Urbild ist nicht identisch mit der Umkehrfunktion, auch wenn sie eine ähnliche mathematische Notation haben.
Beispiel 2
Hat man hingegen eine Funktion $f(x) = x^2$ und man möchte das Urbild von 9 unter dieser Funktion, ist das die Menge mit den Elementen {-3, 3}, da diese Werte quadriert beide jeweils 9 ergeben. Man schreibt $f^{-1} (\{9\}) = \{-3, 3\}$.
Hier kommt es auf die Definitionsmenge an: die Lösung mit den Elementen {-3, 3} stimmt dann, wenn die Definitionsmenge die Menge der ganzen Zahlen ist; ist sie aber zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen (also nur der positiven ganzen Zahlen wie 1, 2, 3 und so weiter), ist das Urbild von 9 unter dieser Funktion {3}.
Wir bleiben bei der Funktion f(x) = x2; möchte man das Urbild von {1, 4, 9} unter dieser Funktion und ist die Definitionsmenge die Menge der ganzen Zahlen, ist das die Menge mit den Elementen {-1, -2, -3, 1, 2, 3}, da diese Werte quadriert jeweils 1, 4 und 9 ergeben.
Nicht für jede Funktion und jeden Wert muss ein Urbild Elemente enthalten, das Urbild kann entsprechend die leere Menge sein.
So ist zum Beispiel das Urbild von 7 unter der Funktion f(x) = x2 im Definitionsbereich der ganzen Zahlen die leere Menge, da keine ganze Zahl quadriert 7 ergibt.
Fazit
- Das Urbild f−1({y}) ist die Menge aller x im Definitionsbereich, die auf einen gegebenen Wert y abgebildet werden
- Das Urbild kann leer (∅), einelementig oder mehrelementig sein – je nach Funktion und Definitionsmenge
- Beispiel: f(x) = x2 ⇒ f−1({9}) = {−3, 3}, aber f−1({7}) = ∅ (über den ganzen Zahlen)
- Urbild und Umkehrfunktion haben ähnliche Notation, sind aber verschiedene Konzepte
Selbsttest: Urbild
Aufgabe: Urbild
Gegeben sei f(x) = x2 − 1 mit Definitionsbereich ℤ (ganze Zahlen). Bestimmen Sie:
a) f−1({0}) b) f−1({3}) c) f−1({−2})
a) x2 − 1 = 0 ⇒ x2 = 1 ⇒ x = ±1 ⇒ f−1({0}) = {−1, 1}
Probe: f(−1) = 1−1 = 0 ✓ f(1) = 1−1 = 0 ✓
b) x2 − 1 = 3 ⇒ x2 = 4 ⇒ x = ±2 ⇒ f−1({3}) = {−2, 2}
Probe: f(−2) = 4−1 = 3 ✓ f(2) = 4−1 = 3 ✓
c) x2 − 1 = −2 ⇒ x2 = −1 ⇒ keine reelle Lösung ⇒ f−1({−2}) = ∅