Urbild

Beispiele: Urbild einer Funktion

Beispiel 1

Ist eine Funktion beispielsweise f(x) = 2x und ist diese für die Menge der ganzen Zahlen definiert (also Zahlen wie -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3), dann ist der Funktionswert an der Stelle x = 3: f(3) = 2 × 3 = 6.

Das Urbild von 6 unter der Funktion f(x) = 2x ist dann {3}, also eine Menge mit nur einem Element, der Zahl 3. Man schreibt $f^{-1} (\{6\}) = \{3\}$.

Umgangssprachlich: Nur mit der 3 eingesetzt kommt man auf einen Funktionswert von 6.

Hinweis: Das Urbild ist nicht identisch mit der Umkehrfunktion, auch wenn sie eine ähnliche mathematische Notation haben.

Beispiel 2

Hat man hingegen eine Funktion $f(x) = x^2$ und man möchte das Urbild von 9 unter dieser Funktion, ist das die Menge mit den Elementen {-3, 3}, da diese Werte quadriert beide jeweils 9 ergeben. Man schreibt $f^{-1} (\{9\}) = \{-3, 3\}$.

Hier kommt es auf die Definitionsmenge an: die Lösung mit den Elementen {-3, 3} stimmt dann, wenn die Definitionsmenge die Menge der ganzen Zahlen ist; ist sie aber zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen (also nur der positiven ganzen Zahlen wie 1, 2, 3 usw.), ist das Urbild von 9 unter dieser Funktion {3}.

Wir bleiben bei der Funktion f(x) = x²; möchte man das Urbild von {1, 4, 9} unter dieser Funktion und ist die Definitionsmenge die Menge der ganzen Zahlen, ist das die Menge mit den Elementen {-1, -2, -3, 1, 2, 3}, da diese Werte quadriert jeweils 1, 4 und 9 ergeben.

Nicht für jede Funktion und jeden Wert muss ein Urbild Elemente enthalten, das Urbild kann entsprechend die leere Menge sein.

So ist zum Beispiel das Urbild von 7 unter der Funktion f(x) = x² im Definitionsbereich der ganzen Zahlen die leere Menge, da keine ganze Zahl quadriert 7 ergibt.