Verschiebungssatz

Verschiebungssatz Definition

Der Verschiebungssatz erlaubt eine alternative Berechnung der Varianz, die oft einfacher ist.

Nach dem Verschiebungssatz gilt: Varianz = Erwartungswert der quadrierten Variablen minus dem quadrierten Erwartungswert der Variablen.

Als Erwartungswert kann man hier auch den arithmetischen Mittelwert (Durchschnittswert) verwenden.

Beispiel

Beispiel: Varianz mit Verschiebungssatz berechnen

In Fortsetzung des Beispiels zur Varianz:

Es gibt 5 Kinder im Alter von 1, 3, 5, 9 und 12 Jahren.

Der arithmetische Mittelwert bzw. Erwartungswert des Alters der 5 Kinder ist: (1 + 3 + 5 + 9 + 12) / 5 = 30 / 5 = 6 Jahre.

Diesen Mittelwert braucht man sowohl für die übliche Varianzberechnung als auch für die mit dem Verschiebungssatz.

Varianz ohne Verschiebungssatz

Die wie üblich berechnete Varianz (ohne Verschiebungssatz) ist: ((1 - 6)2 + (3 - 6)2 + (5 - 6)2 + (9 - 6)2 + (12 - 6)2) / 5 = (25 + 9 + 1 + 9 + 36) / 5 = 80 / 5 = 16.

Hier muss also fünfmal eine Differenz zwischen dem Datenwert (Alter) und dem Mittelwert gebildet und diese Differenz quadriert werden und anschließend muss die daraus gebildete Summe durch der Anzahl der Datenwerte geteilt werden.

Varianz mit Verschiebungssatz

Die 5 Kinder mit den 5 unterschiedlichen Altern haben jeweils einen Anteil (bzw. eine Wahrscheinlichkeit) von 0,2 bzw. 20 %.

Der Erwartungswert / Durchschnittswert der quadrierten Variablen ist: 12 × 0,2 + 32 × 0,2 + 52 × 0,2 + 92 × 0,2 + 122 × 0,2 = 0,2 + 1,8 + 5 + 16, 2 + 28,8 = 52.

Dann erhält man die Varianz nach dem Verschiebungssatz, indem man davon den quadrierten Mittelwert abzieht: 52 - 62 = 52 - 36 = 16.

Das Ergebnis entspricht der direkt ermittelten Varianz.

Die Erleichterung besteht darin, dass man nicht fünf Differenzen bilden und diese quadrieren muss, sondern direkt die Datenwerte quadriert und mit den Anteilen / Wahrscheinlichkeiten gewichtet.

Da im Beispiel die Gewichtung gleich ist (= 1/5), hätte man auch einfach die Summe der quadrierten Daten bilden und durch die Anzahl der Daten (= 5) teilen und dann vom Ergebnis den quadrierten Mittelwert abziehen können:

[(12 + 32 + 52 + 92 + 122) / 5] - 62 = [(1 + 9 + 25 + 81 + 144) / 5] - 36 = (260 / 5) - 36 = 52 - 36 = 16.

Die Gewichtung ist aber v. a. bei Wahrscheinlichkeitsverteilungen nicht immer gleich.

Alternative Begriffe: Steinersche Verschiebungssatz, Steinerscher Verschiebungssatz, Verschiebungssatz der Varianz.