Definition
Der Vorzeichentest als einer der nichtparametrischen Tests kann angewendet werden, wenn
- die Daten einer (kleinen) Stichprobe untersucht werden sollen,
- der Median der Daten mit einem hypothetischen bzw. Vorgabe-Median verglichen werden soll (z. B. mit der Alternativhypothese: der Median der monatlichen Einkommen liegt über 3.000 €) und
- die Daten nicht symmetrisch verteilt (und somit auch nicht normalverteilt) sind, d. h., die Daten sind links- oder rechtsschief (sind die Daten symmetrisch, kann der Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test angewandt werden).
Alternative Begriffe: Median-Test, Vorzeichen-Test.
Beispiel
Beispiel: Vorzeichentest
Ein Personalberatungsunternehmen behauptet: "Der Median des monatlichen Einstiegsgehalts eines Betriebswirts ist 3.000 €."
Einige Studenten sagen: "Das muss doch mehr sein!".
Das soll statistisch mit dem Vorzeichentest untersucht werden.
Dazu wird eine Zufallsstichprobe von 10 Berufsanfängern gezogen: Die Monatsgehälter sind 4.000, 3.500, 2.500, 5.000, 3.100, 2.900, 2.400, 3.200, 3.400, 3.800 €.
Hypothesen aufstellen
Nullhypothese H0: Median = 3.000 € (die Behauptung der Personalberater stimmt)
Alternativhypothese H1: Median > 3.000 € (Hoffnung der Studenten)
Signifikanzniveau festlegen
Das Signifikanzniveau α sei 0,05.
Teststatistik berechnen
Für die Gehälter der Stichprobe, die über dem Median liegen, wird ein "+" (Plus) vergeben, für die, die darunter liegen, ein "-" (Minus).
Die Teststatistik ist die Summe der "+", für die obigen Daten sind das 7 "+".
Die zugrunde liegende Idee ist, dass 5 Plus-Zeichen zu erwarten wären, wenn die Nullhypothese stimmt (da der Median die Menge in darunter und darüber liegende Teilmengen teilt).
Annahme- und Ablehnungsbereich festlegen
Für kleine Stichproben wie hier (bis zu einem Stichprobenumfang von 25) basieren die kritischen Werte des Ablehnungsbereichs i. d. R. auf der Binomialverteilung.
Die Idee dahinter: stimmt die Nullhypothese (der Median ist 3.000 €), ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig ausgewählte Person darüber liegt, 50 % (dass sie unter dem Median liegt, ebenfalls 50 %).
Die Anzahl der "+" in der 10-köpfigen Stichprobe folgt also einer Binomialverteilung B(10, 0,5).
|
Wahrscheinlichkeit |
kumulierte Wahrscheinlichkeit |
|
|---|---|---|
|
0 mal über Median |
0,0009765625 |
0,0009765625 |
|
1 mal über Median |
0,009765625 |
0,0107421875 |
|
2 mal über Median |
0,0439453125 |
0,0546875 |
|
3 mal über Median |
0,1171875 |
0,171875 |
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4 mal über Median |
0,205078125 |
0,376953125 |
|
5 mal über Median |
0,24609375 |
0,623046875 |
|
6 mal über Median |
0,205078125 |
0,828125 |
|
7 mal über Median |
0,1171875 |
0,9453125 |
|
8 mal über Median |
0,0439453125 |
0,9892578125 |
|
9 mal über Median |
0,009765625 |
0,9990234375 |
|
10 mal über Median |
0,0009765625 |
1 |
Wenn der Median tatsächlich bei 3.000 € liegen würde, wäre es mit 0,0009765625 sehr unwahrscheinlich, 10 Stichprobenwerte über dem Median zu haben. Es wäre mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,009765625 auch sehr unwahrscheinlich, 9 mal über dem Median zu liegen (zusammen: 0,0009765625 + 0,009765625 = 0,010742187 (ca. 1 %)).
Es wäre mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0439453125 (ca. 4,4 %) aber schon gar nicht mehr so ganz unwahrscheinlich, 8 mal über dem Median zu liegen.
Die Wahrscheinlichkeit, dass 8 oder mehr Stichprobenwerte "über Median" dabei sind, ist 0,0009765625 + 0,009765625 + 0,0439453125 = 0,054687499 (ca. 5,5 %). Der Wert liegt über dem gewählten Signifikanzniveau von 0,05, d. h. der Ablehnungsbereich umfasst nur 9 und 10 mal "über dem Median".
Der Ablehnungsbereich besteht hier aus den Teststatistik-Werten 9 und 10, der Annahmebereich geht entsprechend von 0 bis 8.
Testentscheidung treffen
Da die Teststatistik mit 7 im Annahmebereich liegt, kann die Nullhypothese (der Median liegt bei 3.000 €) nicht verworfen werden.
Alternative: p-Wert berechnen
Alternativ kann die Fragestellung auch über den p-Wert beantwortet werden:
Die Wahrscheinlichkeit, dass 7 mal oder öfters Stichprobenwerte über dem Median liegen, wenn die Nullhypothese stimmt, ist 0,0009765625 + 0,009765625 + 0,0439453125 + 0,1171875 = 0,171875. Der p-Wert (Überschreitungswahrscheinlichkeit) ist gerundet 0,17 bzw. 17 %.
Das ist (weit) über dem Signifikanzniveau von 0,05, deshalb wird die Nullhypothese nicht abgelehnt.
Fazit
- Der Vorzeichentest prüft, ob der Median einer Stichprobe von einem vorgegebenen Wert abweicht – ohne Normalverteilungsannahme.
- Teststatistik = Anzahl der Stichprobenwerte, die über dem hypothetischen Median liegen („+“-Zeichen).
- Der Ablehnungsbereich basiert bei kleinen Stichproben auf der Binomialverteilung B(n, 0,5).
- Alternative bei symmetrischen Daten: Wilcoxon-Vorzeichen-Rang-Test (effizienter, da er auch die Rangabstände berücksichtigt).
Selbsttest: Vorzeichentest
Die Teststatistik beim Vorzeichentest ist die Anzahl der Stichprobenwerte, die über dem hypothetischen Median liegen.
Beim Vorzeichentest werden Ränge der Absolutbeträge der Differenzen vergeben.
Der Ablehnungsbereich des Vorzeichentests basiert auf der Binomialverteilung mit p = 0,5.
Aufgabe: Teststatistik des Vorzeichentests bestimmen
Ein Logistikunternehmen behauptet, dass die mediane Lieferzeit 5 Tage beträgt.
Eine Stichprobe von 8 Lieferungen ergab folgende Lieferzeiten (in Tagen):
3, 7, 4, 9, 6, 5, 8, 2
Bestimmen Sie die Teststatistik des Vorzeichentests für den einseitigen Test H1: Median > 5.
Schritt 1 – Vorzeichen vergeben: Werte über dem hypothetischen Median 5 erhalten „+“, Werte darunter „−“; Werte gleich dem Median (hier: 5) werden ignoriert.
3 → − | 7 → + | 4 → − | 9 → + | 6 → + | 5 → ignoriert | 8 → + | 2 → −
Schritt 2 – Teststatistik: Anzahl der „+“-Zeichen = 4 (bei effektivem n = 7).
Schritt 3 – Ablehnungsbereich (B(7; 0,5), zweiseitig, α = 5 %): Unter H0 folgt die Anzahl der „+“-Zeichen der Binomialverteilung B(7; 0,5). Die kritischen Schranken bei α/2 = 2,5 % lauten (das kann mit dem Rechner zur Binomialverteilung berechnet werden):
Untere Schranke: P(T ≤ 0) = 1/128 ≈ 0,78 % ≤ 2,5 % → k1 = 0
Obere Schranke: P(T ≥ 7) = 1/128 ≈ 0,78 % ≤ 2,5 % → k2 = 7
Ablehnungsbereich: T ≤ 0 oder T ≥ 7 — Annahmebereich: 1 ≤ T ≤ 6
Ergebnis: Die Teststatistik T = 4 liegt im Annahmebereich [1; 6]. H0 wird nicht abgelehnt: Beim Signifikanzniveau α = 5 % gibt es keinen ausreichenden Beleg dafür, dass der Median der Lieferzeiten vom hypothetischen Median von 5 Tagen abweicht.