Definition
Die Wurzelfunktion hat allgemein die Form:
$$\sqrt[n]{x}$$
Dabei ist n der Wurzelexponent und x der Radikand.
Beispiele
Beispiele Wurzelfunktionen
Beispiel 1: Kubikwurzel / 3. Wurzel
$$\sqrt[3]{8} = 2$$
Die dritte Wurzel (Kubikwurzel) aus 8 ist 2 (das bedeutet im Umkehrschluss: 23 = 8).
Beispiel 2: Quadratwurzel
$$\sqrt[2]{9} = 3$$
Die zweite Wurzel (Quadratwurzel) aus 9 ist 3 (das bedeutet im Umkehrschluss: 32 = 9).
Die Quadratwurzel ist die üblichste Wurzel; man sagt oft einfach Wurzel aus 9 ($\sqrt{9}$) und meint damit die Quadratwurzel aus 9.
Wurzel als Potenz
Alternativ kann man die Wurzelfunktion auch als Potenzfunktion mit gebrochenem Exponenten schreiben:
$$\sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}$$
Beispiele 3 und 4
$$\sqrt[3]{8} = 8^{\frac{1}{3}} = 2$$
$$\sqrt[2]{9} = 9^{\frac{1}{2}} = 3$$
Das ist praktisch, da man dann die Potenzgesetze anwenden kann, z. B. bei verschachtelten Wurzeln.
Beispiel 5
$$\sqrt[3]{\sqrt[2]{64}} = \sqrt[3]{64^\frac{1}{2}} = (64^\frac{1}{2})^\frac{1}{3} = 64^\frac{1}{6} = 2$$
Kontrolle:
Die (Quadrat)wurzel aus 64 ist 8 und daraus die 3. Wurzel ist 2 (siehe Beispiel 1).
Fazit
- n√x = x1/n – die n-te Wurzel entspricht einer Potenzfunktion mit dem gebrochenen Exponenten 1/n
- n = 2: Quadratwurzel (häufigster Fall); n = 3: Kubikwurzel; höhere n entsprechend
- Umkehrung der Potenz: n√x = y bedeutet yn = x – für gerades n muss x ≥ 0 sein
- Verschachtelte Wurzeln: Exponenten multiplizieren → n√(m√x) = x1/(m · n)
Selbsttest: Wurzelfunktion
Aufgabe: Wurzelfunktion
Schreiben Sie 4√(x3) als Potenz mit gebrochenem Exponenten.
Berechnen Sie anschließend den Wert für x = 16.
Als gebrochener Exponent:
4√(x3) = (x3)1/4 = x3/4
Wert bei x = 16:
163/4 = (161/4)3 = 23 = 8
Probe: 4√(163) = 4√4096; da 212 = 4096, gilt 40961/4 = 23 = 8 ✓