Definition
Größen, die zusammenhängen – zum Beispiel 1) die Stunde (x) eines Tages und 2) die in einer Stunde gefallene Regenmenge (y) auf einen Quadratmeter an einem Ort – lassen sich mathematisch durch eine Zuordnung bzw. Zuordnungsvorschrift beschreiben: $x \mapsto y$.
Eine Zuordnung kann man in beide Richtungen betrachten:
- Die Zuordnung kann eindeutig sein: Jedem x wird ein y (und nicht mehr) zugeordnet; eine derartige eindeutige Zuordnung ist eine Funktion. Das ist bei einer Zuordnung Stunde $\mapsto$ Regenmenge der Fall: Jeder Stunde (zum Beispiel die um 8 Uhr beginnende 9. Stunde) kann eine Regenmenge zugeordnet werden (und nicht mehrere Regenmengen an dem Ort);
- Die Zuordnung ist nicht eindeutig: manchen x wird mehr als ein y zugeordnet; das ist keine Funktion. Das wäre bei der Zuordnung Regenmenge $\mapsto$ Stunde der Fall: eine Regenmenge von beispielsweise 10 Litern kann in der 9. Stunde (von 8 bis 9 Uhr), aber auch in der 16. Stunde (von 15 bis 16 Uhr) gefallen sein.
Fazit
- Eine Zuordnung (x ↦ y) beschreibt den mathematischen Zusammenhang zwischen zwei Größen
- Ist die Zuordnung eindeutig – jedem x wird genau ein y zugeordnet – handelt es sich um eine Funktion
- Nicht eindeutige Zuordnungen (ein x ↦ mehrere y) sind keine Funktionen
Selbsttest: Zuordnung
Aufgabe: Zuordnung
Entscheiden Sie für jede der folgenden Zuordnungen, ob es sich um eine Funktion handelt, und begründen Sie kurz.
a) Personalnummer ↦ Name des Mitarbeiters (in einem Unternehmen)
b) Postleitzahl ↦ Stadt
c) Stadt ↦ Postleitzahl
d) Reelle Zahl x ↦ y mit |y| = x
a) Personalnummer ↦ Name: Funktion ✓
Jede Personalnummer ist eindeutig vergeben; zu einer Nummer gibt es genau einen Mitarbeiter.
b) PLZ ↦ Stadt: Funktion ✓
Jede Postleitzahl gehört in Deutschland genau einer Stadt zu; die Zuordnung ist eindeutig.
c) Stadt ↦ PLZ: keine Funktion ✗
Viele Städte haben mehrere Postleitzahlen (z. B. München: 80331–81929); zu einem x (Stadt) gibt es mehrere y (PLZ).
d) x ↦ y mit |y| = x: keine Funktion ✗
Zu jeder positiven reellen Zahl x gibt es zwei y-Werte mit |y| = x (z. B. x = 5 ↦ y = 5 und y = −5); die Zuordnung ist nicht eindeutig.