p-q-Formel

p-q-Formel Definition

Mit der p-q-Formel lassen sich quadratische Gleichungen lösen.

Beispiel

Die Gleichung 2x2 + 2x - 12 = 0 soll gelöst werden.

Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss das x2 ohne einen Multiplikator stehen (also ohne die 2 davor) und die Gleichung gleich 0 gesetzt sein (das ist sie hier schon; sonst müsste man vorher umformen).

Die allgemeine Form der Gleichung ist x2 + px + q = 0.

In der obigen Beispielgleichung müssen zunächst beide Seiten durch 2 geteilt werden, um die 2 vor dem x2 wegzubekommen; daraus resultiert x2 + x - 6 = 0.

Dann ist in der Beispielgleichung p = 1 und q = -6.

Die p-q-Formel lautet:

$$x_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {p}{2}\right)^2 - q}$$

Das gibt dann 2 Lösungen x1 und x2:

$$x_1 = \frac{-1}{2} + \sqrt {\left (\frac {1}{2}\right)^2 - (-6)} = - \frac{1}{2} + \sqrt {6,25} = - \frac{1}{2} + 2,5 = 2$$

$$x_2 = \frac{-1}{2} - \sqrt {\left (\frac {1}{2}\right)^2 - (-6)} = - \frac{1}{2} - \sqrt {6,25} = - \frac{1}{2} - 2,5 = -3$$

Kontrolle:

2 × 22 + 2 × 2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0

2 × (-3)2 + 2 × (-3) - 12 = 18 - 6 - 12 = 0.