p-q-Formel

p-q-Formel Definition

Mit der p-q-Formel lassen sich quadratische Gleichungen lösen bzw. die Nullstellen quadratischer Funktionen berechnen (Nullstellen sind x-Werte, für welche der Funktionswert bzw. y-Wert 0 ist – grafisch sind das die Schnittpunkte mit der waagrechten x-Achse, y ist dort 0).

Alternative Begriffe: Lösungsformel für quadratische Gleichungen, pq-Formel.

Beispiel

Beispiel: pq-Formel anwenden

Die Gleichung 2x2 + 2x - 12 = 0 soll gelöst werden.

Gleichung umformen

Um die p-q-Formel anwenden zu können, muss das x2 ohne einen Multiplikator stehen (also ohne die 2 davor) und die Gleichung gleich 0 gesetzt sein (letzteres ist sie hier schon).

Die allgemeine Form der Gleichung ist x2 + px + q = 0.

In der obigen Beispielgleichung müssen zunächst beide Seiten durch 2 geteilt werden, um die 2 vor dem x2 wegzubekommen; daraus resultiert x2 + x - 6 = 0.

Dann ist in der Beispielgleichung p = 1 und q = -6.

pq-Formel

Die p-q-Formel lautet:

$$x_{1/2} = \frac{-p}{2} \pm \sqrt {\left (\frac {p}{2}\right)^2 - q}$$

Das gibt dann 2 Lösungen x1 und x2:

$$x_1 = \frac{-1}{2} + \sqrt {\left (\frac {1}{2}\right)^2 - (-6)} = - \frac{1}{2} + \sqrt {6,25} = - \frac{1}{2} + 2,5 = 2$$

$$x_2 = \frac{-1}{2} - \sqrt {\left (\frac {1}{2}\right)^2 - (-6)} = - \frac{1}{2} - \sqrt {6,25} = - \frac{1}{2} - 2,5 = -3$$

Kontrolle

2 × 22 + 2 × 2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0

2 × (-3)2 + 2 × (-3) - 12 = 18 - 6 - 12 = 0.

2 und (-3) sind also die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x) = 2x2 + 2x - 12.

Diskriminante: Wieviele Lösungen gibt es?

Ist die sogenannte Diskriminante (das, was unter der Wurzel steht, also $\left (\frac{p}{2} \right )^2 - q$

  • > 0 (wie im Beispiel mit 6,25), gibt es 2 Lösungen;
  • = 0 ist, gibt es nur eine Lösung (ob man 0 addiert oder subtrahiert, ändert nichts);
  • < 0, gibt es keine Lösung der quadratischen Gleichung (es gibt keine reelle Wurzel von negativen Zahlen).