Definition
Mit dem Satz von Vieta kann man unter Umständen quadratische Gleichungen durch Ausprobieren lösen.
Voraussetzung: es muss 2 (ganzzahlige) Lösungen (x1 und x2) für die quadratische Gleichung geben.
Alternative Begriffe: Satz des Vieta, Wurzelsatz von Vieta.
Beispiel
Die Gleichung 2x2 + 2x - 12 = 0 soll gelöst werden.
Das ist dieselbe Gleichung wie bei der p-q-Formel und die ersten Schritte der Umformung sind gleich:
Um den Satz von Vieta anwenden zu können, muss das x2 ohne einen Multiplikator stehen (also ohne die 2 davor) und die Gleichung gleich 0 gesetzt sein (das ist sie hier schon; sonst müsste man vorher umformen).
Die allgemeine Form der Gleichung ist x2 + px + q = 0.
In der obigen Beispielgleichung müssen zunächst beide Seiten durch 2 geteilt werden, um die 2 vor dem x2 wegzubekommen; daraus resultiert x2 + x - 6 = 0.
Formel
Der Satz von Vieta besagt nun für p und q:
- p = -(x1 + x2) und
- q = x1 × x2
In der obigen umgeformten Beispielgleichung ist p = 1 und q = -6.
Nun kann man Werte für x1 und x2 ausprobieren, am besten zunächst für q = x1 × x2:
- -6 = -1 × 6; dann wäre allerdings p = -(-1 + 6) = -5 und damit nicht gleich 1 (also falsch).
- -6 = -2 × 3; dann wäre allerdings p = -(-2 + 3) = -1 und damit nicht gleich 1 (also auch falsch).
- -6 = -3 × 2; dann wäre p = -(-3 + 2) = 1; das passt.
Es gibt also 2 Lösungen für x:
- x1 = -3 und
- x2 = 2.
Kontrolle (Einsetzen der beiden x-Werte in die Gleichung):
2 × 22 + 2 × 2 - 12 = 8 + 4 - 12 = 0
2 × (-3)2 + 2 × (-3) -12 = 18 - 6 - 12 = 0
Das Ausprobieren kann etwas dauern; die p-q-Formel wäre hier wohl schneller.
Anwendung
Dafür bringt der Satz von Vieta also wenig.
Man kann aber zum Beispiel schnell kontrollieren, ob (anderweitig) gefundene Lösungen stimmen:
x1 × x2 = -6
(-3) × 2 = -6
Oder wenn man eine Lösung hat, kann man schnell die andere ausrechnen (wenn es denn zwei gibt), zum Beispiel wenn x1 = -3 bekannt ist:
(-3) × x2 = -6
-x2 = -2
x2 = 2
Fazit
- Für normierte quadratische Gleichungen x2 + px + q = 0 gilt: p = −(x1 + x2) und q = x1 × x2
- Anwendung 1: Lösungen durch Ausprobieren finden – geeignet für kleine ganzzahlige Lösungen
- Anwendung 2: Gefundene Lösungen überprüfen oder die zweite Lösung aus der ersten berechnen
- Für komplexere Gleichungen ist die pq- oder abc-Formel effizienter als das Ausprobieren
Selbsttest: Satz von Vieta
Aufgabe: Satz von Vieta
Lösen Sie die Gleichung x2 − 7x + 12 = 0 mithilfe des Satzes von Vieta.
p = −7, q = 12
Bedingungen: x1 × x2 = 12 und x1 + x2 = 7
Ausprobieren (Teilerpaare von 12 mit Summe 7):
1 × 12 = 12, aber 1 + 12 = 13 ≠ 7 ✗
2 × 6 = 12, aber 2 + 6 = 8 ≠ 7 ✗
3 × 4 = 12, und 3 + 4 = 7 ✓
Lösungen: x1 = 3, x2 = 4
Kontrolle (x = 3): 9 − 21 + 12 = 0 ✓
Kontrolle (x = 4): 16 − 28 + 12 = 0 ✓