Arithmetische Reihe

Beispiele: Arithmetische Reihen berechnen

Für die obige arithmetische Folge mit den Zahlen 2, 5, 8 und 11 ist eine arithmetische Reihe s_n zum Beispiel

$$s_4 = \sum_{i = 1}^4 a_i = 2 + 5 + 8 + 11 = 26$$

Dabei ist a₁ = 2, a₂ = 5, a₃ = 8 und a₄ = 11.

Mit der arithmetischen Summenformel kann man das kürzer rechnen:

$$s_n = (a_1 + a_n) \cdot \frac{n}{2}$$

$$s_4 = (2 + 11) \cdot \frac{4}{2} = 13 \cdot 2 = 26$$

Eine weitere arithmetische Reihe wäre beispielsweise (nur bis zum 3. Glied aufsummiert)

$$s_3 = \sum_{i = 1}^3 a_i = 2 + 5 + 8 = 15$$

Wieder mit der arithmetischen Summenformel:

$$s_3 = (2 + 8) \cdot \frac{3}{2} = 10 \cdot 1,5 = 15$$

Alternative Summenformel

Was man für die obige Summenformel kennen muss, sind 1) die Anzahl der Glieder der Folge (das sind im ersten Beispiel 4), 2) den Wert des ersten Glieds (das ist 2) und den Wert des letzten Glieds (das ist im ersten Beispiel 11).

Kennt man das letzte Glied der Folge nicht, aber dafür den Abstand zwischen den Folgegliedern, kann man diese Formel anwenden (der konstante Abstand $d$ im obigen Beispiel war 3):

$$s_n = \frac{n}{2} \cdot [2 \cdot a_1 + (n - 1) \cdot d)]$$

$$s_4 = \frac{4}{2} \cdot [2 \cdot 2 + (4 - 1) \cdot 3)]$$

$$s_4 = 2 \cdot [4 + 9] = 2 \cdot 13 = 26$$

So könnte man auch natürliche Zahlen (1, 2, 3, 4, 5 …) aufaddieren; die natürlichen Zahlen sind eine arithmetische Folge mit Abstand 1.

Beispiel für die Zahlen 1 bis 5 mit einer Summe von 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15:

$$s_5 = \frac{5}{2} \cdot [2 \cdot 1 + (5 - 1) \cdot 1)]$$

$$s_5 = 2,5 \cdot [2 + 4] = 2,5 \cdot 6 = 15$$

Zusammenfassung / Wiederholung

Grundlage für eine arithmetische Reihe ist eine arithmetische Folge, also eine Folge von Zahlen mit konstantem Abstand wie etwa die Zahlen 2, 5, 8 und 11 mit dem Abstand 3.

Eine arithmetische Reihe summiert dann die Glieder der dazugehörigen arithmetischen Folge auf.

Dieses Aufsummieren kann direkt geschehen, indem man die Glieder addiert.

Oder man verwendet – vor allem bei langen Folgen empfehlenswert – eine Summenformel, die es in zwei alternativen Formen gibt.