Geometrische Reihe

Geometrische Reihe Definition

Eine geometrische Reihe summiert die Glieder einer geometrischen Folge (also einer Folge, bei welcher der Quotient aus 2 Folgegliedern konstant ist, zum Beispiel 1, 2, 4, 8 und 16 mit einem konstanten Quotienten von 2) auf.

Beispiel

Beispiel: Geometrische Reihe

Für die obige geometrische Folge mit den Zahlen 1, 2, 4, 8 und 16 ist eine geometrische Reihe s_n zum Beispiel

$$s_5 = \sum_{i = 1}^5 a_i = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$$

Dabei ist a₁ = 1, a₂ = 2, a₃ = 4, a₄ = 8 und a₅ = 16.

Geometrische Summenformel

Mit der geometrischen Summenformel kann man das kürzer rechnen (dabei ist q der konstante Quotient, hier: 2):

$$s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$

$$s_5 = 1 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 1 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 31$$

Eine weitere geometrische Reihe wäre beispielsweise (nur bis zum 3. Glied aufsummiert):

$$s_3 = \sum_{i = 1}^3 a_i = 1 + 2 + 4 = 7$$

Auch hier wieder mit der geometrischen Summenformel:

$$s_3 = 1 \cdot \frac{2^3 - 1}{2 - 1} = 1 \cdot \frac{8 - 1}{1} = 7$$