Definition
Eine geometrische Reihe summiert die Glieder einer geometrischen Folge (also einer Folge, bei welcher der Quotient aus 2 Folgegliedern konstant ist, zum Beispiel 1, 2, 4, 8 und 16 mit einem konstanten Quotienten von 2) auf.
Beispiel
Beispiel: Geometrische Reihe
Für die obige geometrische Folge mit den Zahlen 1, 2, 4, 8 und 16 ist eine geometrische Reihe sn zum Beispiel
$$s_5 = \sum_{i = 1}^5 a_i = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31$$
Dabei ist a1 = 1, a2 = 2, a3 = 4, a4 = 8 und a5 = 16.
Geometrische Summenformel
Mit der geometrischen Summenformel kann man das kürzer rechnen (dabei ist q der konstante Quotient, hier: 2):
$$s_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}$$
$$s_5 = 1 \cdot \frac{2^5 - 1}{2 - 1} = 1 \cdot \frac{32 - 1}{1} = 31$$
Eine weitere geometrische Reihe wäre beispielsweise (nur bis zum 3. Glied aufsummiert):
$$s_3 = \sum_{i = 1}^3 a_i = 1 + 2 + 4 = 7$$
Auch hier wieder mit der geometrischen Summenformel:
$$s_3 = 1 \cdot \frac{2^3 - 1}{2 - 1} = 1 \cdot \frac{8 - 1}{1} = 7$$
Fazit
- Geometrische Summenformel: sn = a1·(qn−1)/(q−1)
- q ist der konstante Quotient der zugehörigen geometrischen Folge
- Eine geometrische Reihe summiert die Glieder einer geometrischen Folge auf
Selbsttest: Geometrische Reihe
Aufgabe: Geometrische Reihe
Gegeben ist eine geometrische Folge mit a1 = 3 und q = 2. Berechnen Sie die Summe der ersten 4 Glieder s4 mit der geometrischen Summenformel.
Formel: sn = a1·(qn−1)/(q−1)
Einsetzen: s4 = 3·(24−1)/(2−1) = 3·15/1 = 3·15
Ergebnis: s4 = 45