Definition
Bei einer Bandmatrix befinden sich Matrixelemente ungleich 0 nur auf den "diagonalen Bändern".
Beispiel
Eine 3 × 3 - Bandmatrix könnte so aussehen:
$$\begin{pmatrix} \color{red}{1} & 2 & 0 \\ 4 & \color{red}{5} & 6 \\ 0 & 8 & \color{red}{9} \end{pmatrix}$$
Auf den 3 diagonalen Bändern 4 - 8, 1 - 5 - 9 (Hauptdiagonale, farblich markiert) und 2 - 6 sind Matrixelemente ungleich 0, außerhalb dieser Bänder (in der linken unteren sowie rechten oberen Ecke) sind 0-Werte.
Tridiagonalmatrix
Bei der obigen Matrix sind nur auf der Hauptdiagonalen und deren ersten beiden Nebendiagonalen (ober- und unterhalb der Hauptdiagonalen) Matrixelemente ungleich 0.
Man nennt diese dann Tridiagonalmatrix.
Fazit
- Eine Bandmatrix enthält Nicht-Null-Elemente ausschließlich auf diagonalen Bändern; alle Einträge außerhalb dieser Bänder sind 0.
- Sonderfall Tridiagonalmatrix: Nicht-Null-Elemente nur auf der Hauptdiagonalen und je einer Nebendiagonale oberhalb und unterhalb davon.
- Bandmatrizen ermöglichen effiziente numerische Berechnungen, da die Nullelemente außerhalb des Bandes nicht gespeichert oder verarbeitet werden müssen.
Selbsttest: Bandmatrix
Aufgabe: Bandmatrix erkennen
Gegeben ist die 4 × 4 - Matrix A:
$$A = \begin{pmatrix}3 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 4 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 6 & 3 \\ 0 & 0 & 2 & 7\end{pmatrix}$$
a) Handelt es sich um eine Bandmatrix? Begründen Sie.
b) Auf wie vielen diagonalen Bändern befinden sich Nicht-Null-Elemente?
c) Handelt es sich um eine Tridiagonalmatrix?
a) Ja, A ist eine Bandmatrix: alle Einträge außerhalb der diagonalen Bänder sind 0 (linke untere und rechte obere Ecke).
b) Nicht-Null-Elemente auf drei Bändern:
- Unterhalb der Hauptdiagonalen (Sub-Diagonale): 2, 1, 2
- Hauptdiagonale: 3, 4, 6, 7
- Oberhalb der Hauptdiagonalen (Super-Diagonale): 1, 5, 3
c) Ja, A ist eine Tridiagonalmatrix: Nicht-Null-Einträge nur auf der Hauptdiagonalen und je einer unmittelbar benachbarten Nebendiagonalen. Alle weiter entfernten Einträge (z. B. rechte obere und linke untere Ecke) sind 0.