Diagonalmatrix

Definition

Eine Diagonalmatrix ist eine quadratische Matrix (zum Beispiel 2 × 2 - oder 3 × 3 - Matrix), in der alle Elemente gleich Null sind außer die Elemente der Hauptdiagonalen (von links oben nach rechts unten).

Alternative Begriffe: Diagonal-Matrix.

Beispiel

$$A = \begin{pmatrix}\color{red}{1} & 0 & 0 \\ 0 & \color{red}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \color{red}{3} \end{pmatrix}$$

Das ist eine Diagonalmatrix, da sie quadratisch ist (3 Zeilen und 3 Spalten) und alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen (mit den markierten Zahlen 1, 2 und 3) gleich 0 sind.

Determinante einer Dialogmatrix

Die Determinante $det (A)$ einer Diagonalmatrix ist viel schneller zu berechnen als bei anderen Matrizen; es werden einfach die Werte der Hauptdiagonalen multipliziert:

$$det (A) = 1 \cdot 2 \cdot 3 = 6$$

Spezielle Diagonalmatrizen

Eine spezielle Diagonalmatrix ist die Einheitsmatrix: bei ihr sind alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen gleich 0 und die Hauptdiagonale selbst enthält durchgängig nur die Zahl 1:

$$E = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Eine weitere spezielle Diagonalmatrix ist die (quadratische) Nullmatrix: bei ihr sind alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen gleich 0 und die Hauptdiagonale selbst enthält durchgängig ebenfalls nur die Zahl 0:

$$A = \begin{pmatrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Sind alle Elemente auf der Hauptdiagonalen identisch, ist das eine Skalarmatrix:

$$A = \begin{pmatrix}5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

Dazu gehören natürlich auch die Null- und Einheitsmatrix.