Adjunkte Matrix

Adjunkte Matrix Definition

Die adjunkte Matrix (auch komplementäre Matrix genannt) einer Matrix A nimmt deren Kofaktormatrix und transponiert sie.

Es sind also einige Zwischenschritte notwendig, um von einer Matrix A zu ihrer adjunkten Matrix zu gelangen.

Beispiel

Im Beispiel zur Unterdeterminante war die 2 x 2 - Matrix A:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Deren Kofaktormatrix Cof (A) war:

$$Cof (A) = \begin{pmatrix}4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$

Die adjunkte Matrix adj (A) erhält man dann, indem man die Kofaktormatrix transponiert, also Zeilen und Spalten vertauscht (die 1. Zeile wird die 1. Spalte, die 2. Zeile wird die 2. Spalte):

$$adj (A) = \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

Die adjunkte Matrix kann man verwenden, um die Inverse A-1 einer Matrix A zu bilden, indem man die adjunkte Matrix mit dem Kehrwert der Determinanten multipliziert (die Determinante muss dabei ungleich 0 sein):

$$A^{-1} = \frac{1}{det (A)} \cdot adj (A)$$

Beispiel

Für die obige Matrix A soll die Inverse gebildet werden (die Determinante von A ist 1 × 4 - 2 × 3 = 4 - 6 = - 2):

$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Das entspricht dem Ergebnis im Beispiel zur Inversen einer 2 - 2 - Matrix.