Adjunkte Matrix
Adjunkte Matrix Definition
Die adjunkte Matrix (auch komplementäre Matrix genannt) einer Matrix A nimmt deren Kofaktormatrix und transponiert sie.
Wofür?
Damit kann man die Inverse einer quadratischen Matrix bestimmen (es gibt aber auch noch andere Möglichkeiten, dies zu tun; siehe Inverse Matrix).
Viele Zwischenschritte
Es sind einige Zwischenschritte notwendig, um von einer Matrix A zu ihrer adjunkten Matrix und von dort zu ihrer inversen Matrix zu gelangen.
Man muss die Kofaktormatrix bestimmen, diese transponieren und die Determinante der Ausgangsmatrix berechnen können.
Beispiel
Beispiel: Adjunkte Matrix und daraus inverse Matrix bestimmen
Im Beispiel zur Unterdeterminante war die 2 x 2 - Matrix A:
$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$
1. Kofaktormatrix bestimmen
Deren Kofaktormatrix Cof (A) war:
$$Cof (A) = \begin{pmatrix}4 & -3 \\ -2 & 1 \end{pmatrix}$$
2. Kofaktormatrix transponieren – ergibt adjunkte Matrix
Die adjunkte Matrix adj (A) erhält man dann, indem man die Kofaktormatrix transponiert, also Zeilen und Spalten vertauscht (die 1. Zeile wird die 1. Spalte, die 2. Zeile wird die 2. Spalte):
$$adj (A) = \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$
Die adjunkte Matrix kann man verwenden, um die Inverse A-1 einer Matrix A zu bilden, indem man die adjunkte Matrix mit dem Kehrwert der Determinante multipliziert (die Determinante muss dabei ungleich 0 sein):
$$A^{-1} = \frac{1}{det (A)} \cdot adj (A)$$
Für die obige Matrix A soll nun die Inverse gebildet werden.
3. Determinante bestimmen
Die Determinante von A ist 1 × 4 - 2 × 3 = 4 - 6 = -2.
(Das ist die Determinante der Ausgangsmatrix A, nicht der (transponierten) Kofaktormatrix bzw. adjunkten Matrix.)
4. Inverse Matrix bestimmen
$$A^{-1} = \frac{1}{-2} \cdot \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$
Das entspricht dem Ergebnis im Beispiel zur Inversen einer 2 - 2 - Matrix.