Definition
Bijektiv bei einer Abbildung bzw. Funktion bedeutet: Für jedes y (aus dem Wertebereich der Funktion) gibt es genau ein x (aus dem Definitionsbereich), nicht mehr und nicht weniger.
Mit anderen Worten: Die Funktion ist injektiv ("höchstens ein x") und surjektiv ("mindestens ein x") zugleich.
Alternative Begriffe: Bijektive Abbildung, Bijektivität.
Beispiele
Beispiel für Bijektivität
Die Funktion f(x) = 2x ist bijektiv. Zu einem y-Wert wie z. B. 6 gibt es genau einen x-Wert von 3 und keinen anderen Wert. Und jedes x hat ein y.
Bijektiv nennt man auch eineindeutig (umkehrbar eindeutig). Man kann das Spiel sozusagen in beide Richtungen spielen: Nenne mir das x und ich nenne das y dazu; und umgekehrt: Nenne mir das y und ich nenne das x dazu.
Gegenbeispiel
Die Funktion f(x) = x2 hingegen ist im Bereich der ganzen Zahlen nicht injektiv da es zu einem y-Wert wie z. B. 9 zwei x-Werte gibt: -3 und 3. Damit ist sie auch nicht bijektiv (es gibt nicht genau ein x, sondern zwei x-Werte).
Fazit
- Bijektiv bedeutet: zu jedem y gibt es genau ein x – die Funktion ist injektiv und surjektiv zugleich
- Bijektive Funktionen heißen auch eineindeutig: man kann vom Output eindeutig auf den Input schließen
- f(x) = 2x ist bijektiv; f(x) = x2 (über ℤ) ist es nicht, da z. B. f(−3) = f(3) = 9
- Nur bijektive Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion
Selbsttest: Bijektiv
Aufgabe: Bijektivität prüfen
Prüfen Sie für die folgenden Funktionen (D = W = ℝ), ob sie bijektiv sind. Begründen Sie jeweils mit Injektivität und Surjektivität.
a) f(x) = x + 3 b) g(x) = x2
a) f(x) = x + 3: bijektiv ✓
Injektiv: Aus f(x1) = f(x2) folgt x1 + 3 = x2 + 3, also x1 = x2. ✓
Surjektiv: Zu jedem y ∈ ℝ existiert x = y − 3 mit f(x) = (y−3) + 3 = y. ✓
b) g(x) = x2: nicht bijektiv ✗
Nicht injektiv: g(−2) = 4 = g(2), aber −2 ≠ 2. ✗
Nicht surjektiv: Für y = −1 gibt es kein reelles x mit x2 = −1. ✗