Injektiv Definition
Injektiv bei einer Abbildung bzw. Funktion bedeutet: Für jedes y (aus dem Wertebereich der Funktion) gibt es höchstens ein x (aus dem Definitionsbereich), das heißt nicht mehr als ein x, aber vielleicht auch keines.
Für injektive Funktionen lassen sich Umkehrfunktionen bilden.
Alternative Begriffe: Injektive Abbildung, Injektivität.
Beispiele
Beispiel für Injektivität
Die Funktion y = f(x) = 2x ist injektiv.
Zu jedem y-Wert gibt es genau ein (und damit auch höchstens ein) x: zu y = 4 gibt es x = 2, zu y = 10 gibt es x = 5 und so weiter.
Gegenbeispiel für Injektivität
Die Funktion y = f(x) = x2 hingegen ist im Bereich der ganzen Zahlen nicht injektiv.
Zu einem y-Wert wie zum Beispiel 4 gibt es zwei x-Werte: -2 und 2. f(-2) = (-2)2 = 4 und f(2) = 22 = 4.
Ebenso zu allen anderen Werten (außer 0, die nur einmal angenommen wird).
Man kann also vom Output (Ergebnis: 4) nicht sicher auf den Input schließen (es kann 2 oder -2 gewesen sein).
Fazit
- Injektiv bedeutet: zu jedem y gibt es höchstens ein x – kein y wird von zwei verschiedenen x angenommen
- Formal: aus f(x1) = f(x2) folgt stets x1 = x2
- f(x) = 2x ist injektiv; f(x) = x2 (über ℤ) ist es nicht, da z. B. f(−2) = f(2) = 4
- Nur injektive Funktionen erlauben die Bildung einer Umkehrfunktion
Selbsttest: Injektiv
Aufgabe: Injektivität prüfen
Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen (Definitionsmenge: ℝ) injektiv sind, und begründen Sie Ihre Antwort jeweils mit einem Nachweis oder einem Gegenbeispiel.
a) f(x) = x3 b) g(x) = x2 − 2x + 1
a) f(x) = x3: injektiv ✓
Angenommen f(x1) = f(x2), also x13 = x23. Da die Kubikwurzel für reelle Zahlen eindeutig ist, folgt x1 = x2.
Bestätigung: f(−2) = −8, f(−1) = −1, f(0) = 0, f(1) = 1, f(2) = 8 – alle verschieden ✓
b) g(x) = x2 − 2x + 1 = (x−1)2: nicht injektiv ✗
Gegenbeispiel: g(0) = (0−1)2 = 1 und g(2) = (2−1)2 = 1.
Zwei verschiedene x-Werte (0 und 2) liefern denselben Funktionswert 1 ⇒ nicht injektiv.