Surjektiv

Surjektiv Definition

Surjektiv bei einer Abbildung bzw. Funktion bedeutet: Für jedes y (aus dem Wertebereich der Funktion) gibt es mindestens ein x (aus dem Definitionsbereich), das heißt eines oder mehrere x.

Mit anderen Worten: Jeder y-Wert aus dem Wertebereich wird angenommen.

Funktionen können auch

  • injektiv (für jedes y aus dem Wertebereich der Funktion gibt es höchstens ein x aus dem Definitionsbereich, das heißt nicht mehr als ein x, aber vielleicht auch keines) oder
  • bijektiv (für jedes y aus dem Wertebereich der Funktion gibt es genau ein x aus dem Definitionsbereich, nicht mehr und nicht weniger; die Funktion ist dann injektiv und surjektiv zugleich)

sein.

Alternative Begriffe: Surjektive Abbildung, Surjektivität.

Beispiel

Beispiel: Funktion surjektiv?

Bei der Funktion y = f(x) = x2 kommt es darauf an, wie der Wertebereich definiert wird.

Umfasst der Wertebereich die positiven reellen Zahlen einschließlich der 0, ist die Funktion surjektiv, denn für jedes y gibt es mindestens ein x.

So gibt es zum Beispiel zu y = 0 ein x, nämlich x = 0.

Für y = 4 gibt es zwei x: -2 und 2 (diese in die Funktion eingesetzt ergibt jeweils 4: y = f(-2) = (-2)2 = 4 und y = f(2) = 22 = 4).

Umfasst der Wertebereich aber alle (positiven und negativen) reellen Zahlen, ist die Funktion nicht surjektiv, da nicht alle y-Werte angenommen werden (die negativen nicht; es gibt kein x, welches in die Funktion eingesetzt beispielsweise y = -4 ergibt; y = f(x) = x2 macht alles positiv).