Dreiecksungleichung

Dreiecksungleichung Definition

Die Dreiecksungleichung stammt ursprünglich aus der Geometrie und besagt, dass bei einem Dreieck die Summe zweier Seiten >= der dritten Seite ist – oder anders formuliert: eine Seite ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten.

Die Dreiecksungleichung wird aber z.B. auch bei Vektoren (d.h. in der linearen Algebra) und in einigen anderen mathematischen Bereichen angewandt.

Beispiel

Die Dreiecksungleichung für Vektoren besagt:

$$\vert a + b \vert \le \vert a \vert + \vert b \vert$$

In Worten: der Betrag bzw. die Länge der Summe zweier Vektoren a und b ist kleiner gleich der Summe der Beträge der einzelnen Vektoren a und b.

Mit ein paar Zahlen: die beiden Vektoren a und b seien:

$$a = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Die Beträge der Vektoren a und b:

$$\vert a \vert = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$$

$$\vert b \vert = \sqrt{0^2 + 6^2} = \sqrt{36} = 6$$

Die Summe der Beträge der Vektoren a und b ist dann 5 + 6 = 11.

Die Summe der Vektoren:

$$a + b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 10 \end{pmatrix}$$

Der Betrag der Summe der Vektoren:

$$\vert a + b \vert = \sqrt{3^2 + 10^2} = \sqrt{109} = 10,44$$

Der Betrag der Summe der Vektoren ist mit 10,44 kleiner als die Summe der Beträge mit 11, wie von der Dreiecksungleichung beschrieben (ein Beweis ist das natürlich noch nicht).

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Die umgekehrte Dreiecksungleichung lautet:

$$\vert a - b \vert \ge \vert a \vert - \vert b \vert$$

Beispiel: Umgekehrte Dreiecksungleichung

Die beiden Vektoren a und b im obigen Beispiel waren:

$$a = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}, b = \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix}$$

Die Differenz der Vektoren:

$$a - b = \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}$$

Der Betrag der Differenz der Vektoren:

$$\vert a - b \vert = \sqrt{3^2 + (-2)^2} = \sqrt{13} = 3,61$$

Dieser Wert von 3,61 ist größer gleich der Differenz der Beträge von a und b: 5 - 6 = -1.