Definition
Die Komplementärmenge $\overline A$ ("A quer") – auch: das Komplement einer Menge A – enthält die Elemente einer Grundmenge $\Omega$ (Omega), die nicht Element der Teilmenge A sind.
Die Komplementärmenge ist ein Sonderfall der Differenzmenge; bei ihr muss allerdings die eine Menge eine Teilmenge der anderen Menge sein, dass heißt ihre Objekte müssen in der Grundmenge / Obermenge alle enthalten sein (bei Differenzmengen ist das nicht nötig).
Beispiel
Beispiel: Komplementärmenge bilden
Angenommen, wir haben eine Grundmenge mit den natürlichen Zahlen von 1 bis 10.
$$\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$$
Und eine Menge A, welche die „Würfelzahlen“ enthält:
$$A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$$
Diese Menge A ist eine Teilmenge der Menge $\Omega$, da ihre Zahlen alle in $\Omega$ enthalten sind.
Komplement zur Menge finden
Dann ist das Komplement von A in $\Omega$: $\overline A = \{7, 8, 9, 10\}$.
Hierin enthalten sind die Zahlen der Grundmenge, die nicht in A enthalten sind.
"Komplementär" bedeutet ergänzen: Die beiden Mengen A und $\overline A$ sind in Bezug auf die Grundmenge $\Omega$ Komplementärmengen, sie ergänzen sich zur Grundmenge.
Fazit
- Komplementärmenge Ā = Ω \ A — alle Elemente der Grundmenge, die nicht in A sind
- Es gilt stets: A ∪ Ā = Ω und A ∩ Ā = ∅ (leere Menge)
- Mächtigkeit: |Ā| = |Ω| − |A|
- In der Wahrscheinlichkeitsrechnung: P(Ā) = 1 − P(A) — das Gegenereignis
Selbsttest: Komplementärmenge
Aufgabe: Komplementärmenge bestimmen
Gegeben sei die Grundmenge Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12} und die Menge A = {2, 4, 6, 8, 10, 12} (alle geraden Zahlen).
a) Bestimmen Sie die Komplementärmenge Ā. b) Berechnen Sie |Ā| mithilfe der Formel. c) Ein Zufallsexperiment wählt gleichwahrscheinlich eine Zahl aus Ω. Berechnen Sie P(A) und P(Ā) und überprüfen Sie: P(A) + P(Ā) = 1.
a) Komplementärmenge:
Ā = Ω \ A = {1, 3, 5, 7, 9, 11} (alle ungeraden Zahlen in Ω)
b) Mächtigkeit:
|Ā| = |Ω| − |A| = 12 − 6 = 6
c) Wahrscheinlichkeiten:
P(A) = |A| / |Ω| = 6 / 12 = 0,5 = 50 %
P(Ā) = |Ā| / |Ω| = 6 / 12 = 0,5 = 50 %
Probe: P(A) + P(Ā) = 0,5 + 0,5 = 1 ✓
Alternativ: P(Ā) = 1 − P(A) = 1 − 0,5 = 0,5 ✓