Differenzenquotient
Differenzenquotient Definition
Der Differenzenquotient hat im Nenner die Änderung der x-Werte und im Zähler die sich daraus ergebende Änderung der Funktionswerte.
Beispiel
Die Funktion sei f(x) = 0,1 x2.
Dann ist z.B. der Funktionswert für x = 2: f(2) = 0,1 × 22 = 0,1 × 4 = 0,4.
Erhöht man x auf 3, ist der Funktionswert f(3) = 0,1 × 32 = 0,1 × 9 = 0,9.
Der Differenzenquotient ist dann:
$$ \frac{0,9 - 0,4}{3 - 2} = \frac{0,5}{1} = 0,5.$$
Bezeichnet man den Ausgangswert für x als x0 (im Beispiel der Wert 2) und den erhöhten Wert als x (im Beispiel 3), kann man den Differenzenquotienten allgemein als Formel so schreiben:
$$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$
Der Differenzenquotient wird auch als mittlere Änderungsrate bzw. durchschnittliche Änderungsrate bezeichnet.
Differentialquotient
Hält man die Veränderung von x sehr klein bzw. lässt sie gegen 0 gehen, erhält man den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten
$$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$$
und dieser ist die Grundlage für Ableitungen.
Der Differentialquotient ist die Steigung der Tangente bei x0 (und dem zugehörigen Funktionswert y0 = f(x0)) und gilt damit als Steigung der Funktion bei bei x0; er kann mit der h-Methode berechnet werden.