Differenzenquotient

Differenzenquotient Definition

Der Differenzenquotient hat im Nenner die Änderung der x-Werte und im Zähler die sich daraus ergebende Änderung der Funktionswerte.

Beispiel

Die Funktion sei f(x) = 0,1 x².

Dann ist z. B. der Funktionswert für x = 2: f(2) = 0,1 × 2² = 0,1 × 4 = 0,4.

Erhöht man x auf 3, ist der Funktionswert f(3) = 0,1 × 3² = 0,1 × 9 = 0,9.

Der Differenzenquotient ist dann:

$$ \frac{0,9 - 0,4}{3 - 2} = \frac{0,5}{1} = 0,5.$$

Bezeichnet man den Ausgangswert für x als x₀ (im Beispiel der Wert 2) und den erhöhten Wert als x (im Beispiel 3), kann man den Differenzenquotienten allgemein als Formel so schreiben:

$$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Der Differenzenquotient wird auch als mittlere Änderungsrate bzw. durchschnittliche Änderungsrate bezeichnet.

Differentialquotient

Hält man die Veränderung von x sehr klein bzw. lässt sie gegen 0 gehen, erhält man den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten

$$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$$

und dieser ist die Grundlage für Ableitungen.

Der Differentialquotient ist die Steigung der Tangente bei x₀ (und dem zugehörigen Funktionswert y₀ = f(x₀)) und gilt damit als Steigung der Funktion bei x₀; er kann mit der h-Methode berechnet werden.