Differenzenquotient

Differenzenquotient Definition

Der Differenzenquotient hat im Nenner die Änderung der x-Werte und im Zähler die sich daraus ergebende Änderung der Funktionswerte.

Differentialquotient

Hält man die Veränderung von x sehr klein bzw. lässt sie gegen 0 gehen, erhält man den Differentialquotienten als Grenzwert des Differenzenquotienten

$$\lim\limits_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x - x_0}$$

und dieser ist die Grundlage für Ableitungen.

Der Differentialquotient ist die Steigung der Tangente bei x0 (und dem zugehörigen Funktionswert y0 = f(x0)) und gilt damit als Steigung der Funktion bei x0; er kann mit der h-Methode berechnet werden.

Beispiel

Beispiel: Differenzenquotient

Die Funktion sei f(x) = 0,1 x2.

Dann ist zum Beispiel der Funktionswert für x = 2: f(2) = 0,1 × 22 = 0,1 × 4 = 0,4.

Erhöht man x auf 3, ist der Funktionswert f(3) = 0,1 × 32 = 0,1 × 9 = 0,9.

Differenzenquotient berechnen

Der Differenzenquotient ist dann:

$$ \frac{0,9 - 0,4}{3 - 2} = \frac{0,5}{1} = 0,5.$$

Im Nenner des Quotienten ist die Differenz zwischen den x-Werten und damit die Änderung der x-Werte.

Im Zähler des Quotienten ist die Differenz zwischen den Funktionswerten und damit die Änderung der Funktionswerte, wenn man die x-Werte wie im Nenner ersichtlich verändert.

Formel

Bezeichnet man den Ausgangswert für x als x0 (im Beispiel der Wert 2) und den erhöhten Wert als x (im Beispiel 3), kann man den Differenzenquotienten allgemein als Formel so schreiben:

$$ \frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Interpretation

Der Differenzenquotient wird auch als mittlere Änderungsrate bzw. durchschnittliche Änderungsrate bezeichnet.

Es ist eine durchschnittliche Änderungsrate, da sie ein ganzes Intervall abdeckt (im Beispiel: von 2 bis 3); die einzelnen, lokalen Änderungsraten in diesem Intervall sind ganz unterschiedlich (zum Beispiel von 2 auf 2,1 anders als von 2,8 auf 2,9).