Produktregel

Beispiel 1

Um die Produktregel kennenzulernen, leiten wir zunächst ein Produkt ab, dessen Lösung leicht mit der bekannten Ableitung einer Potenzfunktion überprüft werden kann.

Leitet man die Potenzfunktion $y = x^2$ ab, erhält man 2x (der Exponent 2 wandert als Faktor vor das x und der Exponent 2 wird um 1 reduziert auf 1; und $x^1 = x$).

Nun schreiben wir $x^2$ einfach mal als Produkt $x \cdot x$ und leiten es mit der Produktregel ab.

Formal – und als Vorbereitung auf die allgemeine Formel – könnte man sagen, die Funktion $y = x \cdot x$ besteht aus einer Funktion f(x) = x und einer Funktion g(x) = x und diese werden multipliziert: $y = f(x) \cdot g(x)$.

Die mit der Produktregel gebildete 1. Ableitung der Funktion $y = x \cdot x$ ergibt sich daraus, dass

• der erste Term x abgeleitet wird (ergibt als Ableitung der Variablen x dann 1) und mit dem zweiten Term x multipliziert wird,
• der erste Term x mit der Ableitung des zweiten Terms x (ergibt wiederum 1) multipliziert wird,
• und diese beiden Produkte dann addiert werden.

$$y' = 1 \cdot x + x \cdot 1 = x + x = 2x$$

Das Ergebnis ist richtig (wie die Ableitung der Potenzfunktion $y = x^2$).

Beispiel 2

Die Funktion sei $y = x^2 \cdot ln(x)$, also das Produkt von 1) der Potenzfunktion f(x) = x² und 2) dem natürlichen Logarithmus g(x) = ln(x).

Die mit der Produktregel gebildete 1. Ableitung der Funktion ergibt sich wie oben daraus, dass

• der erste Term x² abgeleitet wird (ergibt als Ableitung einer Potenzfunktion 2x) und mit dem zweiten Term ln(x) multipliziert wird,
• der zweite Term ln(x) abgeleitet wird (ergibt als Ableitung des natürlichen Logarithmus 1/x) und mit dem ersten Term x² multipliziert wird,
• und diese beiden Produkte dann addiert werden.

Für die obige Funktion:

$$y' = 2x \cdot ln(x) + \frac{1}{x} \cdot x^2 = 2x \cdot ln(x) + x$$