Mittlere und momentane Änderungsrate
Mittlere und momentane Änderungsrate Definition
Die mittlere Änderungsrate beschreibt die durchschnittliche Änderung eines Funktionswerts in einem Intervall, zum Beispiel im Zeitbereich 2 bis 5 Sekunden.
Die momentane Änderungsrate hingegen beschreibt die aktuelle Änderung eines Funktionswerts „in einem Punkt“, zum Beispiel bei Sekunde 2.
Die Berechnung sowie der Unterschied zwischen mittlerer und momentaner Änderungsrate wird anhand des Beispiels unten gezeigt.
Alternative Begriffe: Änderungsraten.
Beispiel
Beispiel: Mittlere und momentane Änderungsrate berechnen
Die Funktion sei f(x) = x2.
Dabei kann man sich ein kleines ferngesteuertes Auto vorstellen, das in x Sekunden f(x) Meter (vom Startpunkt aus betrachtet) zurücklegt, also nach 1 Sekunde 12 = 1 Meter, nach 2 Sekunden 22 = 4 Meter, nach 3 Sekunden 32 = 9 Meter und so weiter (das Auto wird immer schneller).
Mittlere Änderungsrate berechnen
Nun soll die mittlere Geschwindigkeit (allgemein: die mittlere Änderungsrate) im Intervall [2, 5], also 2 bis 5 Sekunden berechnet werden.
Dazu werden die Funktionswerte für 2 und 5 in Meter berechnet:
f(2) = 22 = 4.
f(5) = 52 = 25.
Die mittlere Geschwindigkeit in dem Intervall ist dann:
$$\frac{25 m - 4 m}{5 s - 2 s} = \frac{21 m}{3 s} = 7 \frac{m}{s}$$
Diese mittlere Geschwindigkeit / Änderungsrate gibt an, um wieviele Meter sich das Auto pro Sekunde im Durchschnitt in dem Intervall bewegt: um 7 m/s. Von den 4 Meter ausgehend bei 2 Sekunden kommen pro Sekunde 7 Meter dazu und bei 3 Sekunden bis 5 sind das 21 Meter und das Auto ist bei 25 Meter angelangt.
Die mittlere Änderungsrate hängt vom Intervall ab. In einem anderen Intervall, zum Beispiel [2, 7], hätte die mittlere Änderungsrate hier einen anderen Wert (weil das Auto beschleunigt und die quadratische Funktion das widerspiegelt; bei einer linearen Funktion nicht).
Momentane (lokale) Änderungsrate berechnen
Nun soll die momentane Geschwindigkeit (allgemein: die momentane Änderungsrate) an einer bestimmten Stelle, zum Beispiel bei 2 Sekunden (also nicht in einem Intervall) berechnet werden.
Dazu wird die 1. Ableitung f'(x) der Funktion f(x) = x2 gebildet:
f'(x) = 2x.
Die 1. Ableitung wird an der Stelle x = 2 (Sekunden) berechnet:
f'(2) = 2 × 2 = 4.
Das bedeutet? Erhöht man die Zeit ausgehend von 2 Sekunden ein ganz klein wenig (marginal) um zum Beispiel eine Hundertstel Sekunde (0,01 Sekunden), ändert sich die Geschwindigkeit um näherungsweise 4 mal 0,01 = 0,04 Einheiten (f(2) war 22 = 4 und f(2,01) = 2,012 = 4,0401).
Die momentane Änderungsrate ist bei dieser (quadratischen) Funktion an jeder Stelle anders, zum Beispiel bei 3 Sekunden: f'(3) = 2 × 3 = 6 (man sagt auch: lokale Änderungsrate, weil sie sich auf eine Stelle bezieht).
Erhöht man ausgehend von 3 Sekunden die Zeit um eine Hundertstel Sekunde, ändert sich die Geschwindigkeit um näherungsweise 6 mal 0,01 = 0,06 Einheiten (f(3) war 32 = 9 und f(3,01) = 3,012 = 9,0601).