h-Methode

h-Methode Definition

Mit der h-Methode kann die 1. Ableitung einer Funktion (bzw. die Steigung eines Funktionsgraphen) berechnet werden.

Ausgangspunkt ist der Differenzenquotient:

$$\frac{f(x) - f(x_0)}{x - x_0}$$

Nun wird die Differenz x - x0 gleich h gesetzt; dann kann man auch x als x0 + h schreiben.

$$\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h}$$

Da nur noch ein x0 vorhanden ist, kann man auch x statt x0 schreiben:

$$\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$$

Anschließend wird der Grenzwert für h gegen 0 gebildet.

Beispiel

Die Funktion sei f(x) = 2x.

Die 1. Ableitung der Funktion ist – mit den bekannten Ableitungsregeln berechnet (Variable mit Faktor ableiten) – 2.

Mit der h-Methode lässt sich die Ableitung so berechnen:

$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(x +h) - f(x)}{h}$$

Mit der Funktion f(x) = 2x:

$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2(x +h) - 2x}{h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2x + 2h - 2x}{h}$$

$$f'(x) = \lim\limits_{h \to 0} \frac{2h}{h} = 2$$