Edgeworth-Box
Definition
Die Edgeworth-Box stellt die Tauschmöglichkeiten in einer sogenannten Tauschökonomie modellhaft dar.
Alternative Begriffe: Edgeworth-Diagramm, Edgeworthbox.
Beispiel
Es gibt 2 Personen Adam und Bert und 2 Güter(mengen): 10 Liter Grog (g) und 10 Liter Hafermilch (h).
In diesem kleinen Modell gilt: wenn zum Beispiel Adam (jeweils in Litern) 2 g und 8 h hat, dann hat Bert den Rest: 8 g und 2 h.
Man kann das so schreiben: A (2, 8), B (8, 2) und G (10, 10) für Gesamtausstattung.
Die Edgeworth-Box ist ein Rechteck, dessen linke untere Ecke durch ein übliches x-y-Koordinatensystem aufgespannt wird; zugleich gibt es ein zweites "gegenläufiges" Koordinatensystem in der rechten oberen Ecke.
Die Menge von g wird für Adam in dem Diagramm unten waagrecht nach rechts abgetragen, für Bert oben waagrecht nach links.
Genauso wird die Menge von h für Adam in dem Rechteck links senkrecht nach oben abgetragen, für Bert rechts senkrecht nach unten.
Jeder Punkt in der Box spiegelt somit eine mögliche Verteilung aller Güter (Allokation) zwischen Adam und Bert wider.
Adam und Bert bekommen eine Anfangsausstattung – zum Beispiel A (2, 8) und B (8, 2) – und können dann tauschen.
Nutzenfunktionen
Die Nutzenfunktion von Adam sei (mit g für Menge an Grog und h für Menge an Hafermilch):
UA (g, h) = g × h
Die Anfangsausstattung würde ihm also folgenden Nutzen bringen:
UA (2, 8) = 2 × 8 = 16.
Die Nutzenfunktion von Bert sei ebenfalls:
UB (g, h) = g × h
Die Anfangsausstattung würde ihm also folgenden Nutzen bringen:
UB (8, 2) = 8 × 2 = 16.
Tauschen
Nun kann man überlegen, welche anderen Kombinationen Adam und Bert denselben Nutzen bringen (und damit auf einer Indifferenzkurve liegen).
Bei Adam (und auch bei Bert, dieselbe Nutzenfunktion) wäre das beispielsweise:
UA (4, 4) = 4 × 4 = 16.
Oder:
UA (5, 3.2) = 5 × 3.2 = 16.
Zeichnet man diese Indifferenzkurven für Adam und Bert ein, erhält man dieses Bild:
Zur Erinnerung, weil die obere und rechte Achse nicht beschriftet sind: aus Bert's Sicht beginnt alles im oberen rechten Eck und bewegt sich nach links oder unten.
Der Punkt (4, 4) beispielsweise ist aus seiner Sicht im umgedrehten Koordinatensystem der Punkt (6, 6).
In dem Bereich zwischen den beiden Indifferenzkurven liegen die Möglichkeiten, sich durch Tausch zu verbessern.
Gibt beispielsweise Adam von seinen anfänglichen 8 h 3 h an Bert ab und erhält dafür 3 g, ist sein Nutzen:
UA (5, 5) = 5 × 5 = 25.
Und für B:
UB (5, 5) = 5 × 5 = 25.
Beide haben sich also durch den Tausch verbessert.
Tauschgleichgewicht
Ein Tauschgleichgewicht wäre dort erreicht, wo sich die Indifferenzkurven der beiden berühren.
Kontraktkurve
Die Kontraktkurve enthält alle paretooptimalen Güterverteilungen, also alle Verteilungen, bei denen sich nicht einer verbessern kann ohne dass sich der andere verschlechtert.
Dies wird auch Tauschgerade genannt.
Das ist dort der Fall, wo Adam und Bert dieselbe Grenzrate der Substitution (GRS) zwischen den beiden Gütern haben.
Die GRS für Adam ist:
GRSA = hA / gA
Die GRS für Bert ist:
GRSB = hB / gB
Setzt man die beiden GRS gleich, ergibt sich:
hA / gA = hB / gB
Man kann dann für hB auch (10 - hA) schreiben und für gB entsprechend (10 - gA).
Das in die obige Gleichung eingesetzt:
hA / gA = (10 - hA) / (10 - gA)
Ergibt nach ein paar Umformungen:
hA = gA
Das ist eine Gerade mit Steigung 1, die durch den Koordinatenursprung verläuft:
Solange sich Adam und Bert beim Tauschen auf dieser Kontraktkurve bewegen, verschlechtert sich keiner von beiden.