Definition, Zwecke
Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus kann zum einen eine inverse Matrix berechnet werden (siehe Beispiel 1 unten).
Zum anderen können damit lineare Gleichungssysteme (LGS) gelöst werden (siehe Beispiel 2 unten).
Beispiele
Beispiel 1: Inverse einer Matrix berechnen
Folgende Matrix soll invertiert werden:
$$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&0 \\ 2&2&0 \\ 0&2&1 \end{array} \right)$$
Grundidee
Die Grundidee ist hier:
A × I = E (in Worten: Matrix mal Inverse der Matrix gleich Einheitsmatrix).
Und indem man die Einheitsmatrix einbezieht und die Matrix umformt, kommt man zur inversen Matrix.
Rechenschritte des Algorithmus
Schritt 1: neben die (zu invertierende) Matrix rechts die Einheitsmatrix schreiben:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 2&2&0&0&1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$
Schritt 2: durch Umformungen die Einheitsmatrix nach links bringen, dann steht als Ergebnis rechts die inverse Matrix.
Mögliche Umformungen:
- Multiplikation von Zeilen mit einer reellen Zahl ungleich 0;
- Addition oder Subtraktion von Zeilen;
- Addition oder Subtraktion einer zuvor mit einer Zahl ungleich 0 multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile.
1. Umformung: Die 2. Zeile wird mit -1 multipliziert (alle Vorzeichen wechseln) und das Zweifache der 1. Zeile wird zur 2. Zeile addiert, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$
2. Umformung: Von der 3. Zeile wird die 2. Zeile abgezogen, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$
3. Umformung: Die 2. Zeile wird durch 2 geteilt, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&1&0&1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$
4. und letzte Umformung: Das Zweifache der 2. Zeile wird von der 1. Zeile abgezogen, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&-1&1&0 \\ 0&1&0&1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$
Auf der rechten Seite steht jetzt die inverse Matrix (und links die Einheitsmatrix):
$$\left( \begin{array}{ccc} -1&1&0 \\ 1&-\frac{1}{2}&0 \\ -2&1&1 \end{array} \right)$$
Beispiel 2: Lineares Gleichungssystem lösen
Wir nehmen die obige Matrix, interpretieren diese aber als Koeffizientenmatrix für folgendes Gleichungssystem:
1x + 2y +0z = 5
2x + 2y +0z = 6
0x + 2y +1z = 7
Das kann man als Matrix inkl. der rechten Seite der Gleichungen so schreiben
$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 2&2&0&6 \\ 0&2&1&7 \end{array} \right)$$
Nun wieder durch Umformungen links eine Einheitsmatrix bilden. Dazu nehmen wir dieselben Umformungen wie in Beispiel 1, nur die rechte Seite ist anders.
1. Umformung: Die 2. Zeile wird mit -1 multipliziert (alle Vorzeichen wechseln) und das Zweifache der 1. Zeile wird zur 2. Zeile addiert, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&2&0&4 \\ 0&2&1&7 \end{array} \right)$$
2. Umformung: Von der 3. Zeile wird die 2. Zeile abgezogen, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&2&0&4 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$
3. Umformung: Die 2. Zeile wird durch 2 geteilt, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$
4. und letzte Umformung: Das Zweifache der 2. Zeile wird von der 1. Zeile abgezogen, Ergebnis:
$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1 \\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$
Jetzt sind die Koeffizienten x, y und z links isoliert und auf der rechten Seite kann man die Lösung des Gleichungssystems ablesen: x = 1, y = 2 und z = 3.
Kontrolle:
$$1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +0 \cdot 3 = 5$$
$$2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +0 \cdot 3 = 6$$
$$0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +1 \cdot 3 = 7$$
Animation: Gauß-Jordan-Algorithmus
Fazit
- Der Gauß-Jordan-Algorithmus dient der Matrixinversion und der Lösung linearer Gleichungssysteme.
- Schritt 1: Erweiterte Matrix [A|E] (Inversion) bzw. [A|b] (LGS) aufstellen.
- Erlaubte Operationen: Zeile mit Zahl ≠ 0 multiplizieren, Zeilen addieren/subtrahieren, Vielfaches einer Zeile zu einer anderen addieren.
- Ziel: die linke Seite durch Zeilenumformungen in die Einheitsmatrix E überführen.
- Ergebnis: rechts steht dann die inverse Matrix (Inversion) bzw. die LGS-Lösung.
Selbsttest: Gauß-Jordan-Algorithmus
Aufgabe: Lineares Gleichungssystem (3×3)
Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus:
x + 2y = 3
y + z = 2
x + z = 2
Start — erweiterte Koeffizientenmatrix [A|b]:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&3\\ 0&1&1&2\\ 1&0&1&2\end{array}\right)$$
Umformung 1 — R3 = R3 − R1:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&3\\ 0&1&1&2\\ 0&-2&1&-1\end{array}\right)$$
Umformung 2 — R3 = R3 + 2·R2:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&3\\ 0&1&1&2\\ 0&0&3&3\end{array}\right)$$
Umformung 3 — R3 = R3 / 3:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&3\\ 0&1&1&2\\ 0&0&1&1\end{array}\right)$$
Umformung 4 — R2 = R2 − R3:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&2&0&3\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1\end{array}\right)$$
Umformung 5 — R1 = R1 − 2·R2:
$$\left(\begin{array}{ccc|c}1&0&0&1\\ 0&1&0&1\\ 0&0&1&1\end{array}\right)$$
Ergebnis: x = 1, y = 1, z = 1