Definition
Eine Linearkombination ist ein Vektor, der sich aus bestehenden Vektoren "zusammenbauen" lässt, durch Skalarmultiplikation (Vektor wird mit einer Zahl multipliziert, nicht mit einem anderen Vektor) und Addition der Vektoren.
Auf Zahlen übertragen hieße dies: die Zahl 9 lässt sich zum Beispiel aus den Zahlen 2 und 3 mit 3 × 2 + 1 × 3 oder mit 0 × 2 + 3 × 3 konstruieren.
Mit Vektoren geht es ähnlich.
Lineare Hülle
Die Menge aller möglichen Linearkombinationen gegebener Vektoren ist die sogenannte lineare Hülle (auch: Spann oder Erzeugnis).
Beispiel
Beispiel: Linearkombination
Angenommen, man kauft ein, hat nur Ein- und Zwei-Euro-Münzen in der Tasche und an der Supermarktkasse werden 5,00 € berechnet.
Bildet Vektor a den Sachverhalt "Eine Ein-Euro-Münze, keine Zwei-Euro-Münze" ab
$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$
und Vektor b "Keine Ein-Euro-Münze, eine Zwei-Euro-Münze"
$$b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
, lässt sich der 5-Euro-Betrag durch verschiedene Linearkombinationen abbilden, zum Beispiel:
$$5 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$$
oder
$$3 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Das Ergebnis sagt einem hier, dass man die 5 Euro mit 5 Ein-Euro-Münzen und 0 Zwei-Euro-Münzen bezahlen kann oder mit 3 Ein-Euro-Münzen und 1 Zwei-Euro-Münze.
Gegenbeispiel: Keine Linearkombination
Beispiel
Ist beispielsweise der Vektor
$$\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
eine Linearkombination der Vektoren
$$\begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} \text{und} \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} \text{?}$$
Bezeichnet man die Skalare (Multiplikatoren) mit $\lambda$, ergibt sich folgende Gleichung, die man lösen müsste:
$$\lambda_{1} \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + \lambda_{2} \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$$
Daraus folgt ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen:
$$\lambda_{1} \cdot 1 + \lambda_{2} \cdot 0 = 0$$
$$\lambda_{1} \cdot 0 + \lambda_{2} \cdot 0 = 1$$
Die zweite Gleichung kann nie erfüllt sein, egal welche $\lambda$ man einsetzt (da die linke Seite immer 0 ergibt).
Der Vektor $\begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist somit keine Linearkombination der Vektoren $\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix}0 \\ 0 \end{pmatrix}$.
Fazit
- Eine Linearkombination entsteht durch Skalarmultiplikation und anschließende Addition von Vektoren: k1 · a + k2 · b + …
- Jeder Vektor eines Vektorraums lässt sich als Linearkombination seiner Basisvektoren darstellen – oft auf mehrere Arten.
- Die Menge aller möglichen Linearkombinationen gegebener Vektoren heißt lineare Hülle (Spann, Erzeugnis).
- Vektoren sind linear abhängig, wenn sich aus ihnen nichttrivial der Nullvektor kombinieren lässt.
Selbsttest: Linearkombination
Aufgabe: Linearkombination bestimmen
Gegeben sind die Vektoren:
$$v_1 = \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}, \quad v_2 = \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$
Stellen Sie den Vektor w = (−3, 4) als Linearkombination λ1 · v1 + λ2 · v2 dar und bestimmen Sie λ1 und λ2.
Ansatz: λ1 · (1, 0) + λ2 · (0, 1) = (−3, 4)
Komponentenvergleich: λ1 · 1 + λ2 · 0 = −3 ⇒ λ1 = −3
λ1 · 0 + λ2 · 1 = 4 ⇒ λ2 = 4
Probe:
$$(-3) \cdot \begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} + 4 \cdot \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}0\\4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-3\\4\end{pmatrix} = w \quad \checkmark$$