Linearkombination

Linearkombination Definition

Eine Linearkombination ist ein Vektor, der sich aus bestehenden Vektoren "zusammenbauen" lässt, durch Skalarmultiplikation (Vektor wird mit einer Zahl multipliziert, nicht mit einem anderen Vektor) und Addition der Vektoren.

Auf Zahlen übertragen hieße dies: die Zahl 9 lässt sich z.B. aus den Zahlen 2 und 3 mit 3 × 2 + 1 × 3 oder mit 0 × 2 + 3 × 3 konstruieren.

Mit Vektoren geht es ähnlich:

Beispiel

Angenommen, man kauft ein, hat nur Ein- und Zwei-Euro-Münzen in der Tasche und an der Supermarktkasse werden 5,00 € berechnet.

Bildet Vektor a den Sachverhalt "Eine Ein-Euro-Münze, keine Zwei-Euro-Münze" ab

$$a = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$

und Vektor b "Keine Ein-Euro-Münze, eine Zwei-Euro-Münze"

$$b = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

, lässt sich der 5-Euro-Betrag durch verschiedene Linearkombinationen abbilden, z.B.:

$$5 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5 \\ 0 \end{pmatrix}$$

oder

$$3 \cdot \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix} + 1 \cdot \begin{pmatrix}0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3 \\ 1 \end{pmatrix}$$