Exponentialgleichungen

Beispiel 1: Exponentialgleichung mit Logarithmus lösen

x = log₃ 27 (Logarithmus von 27 zur Basis 3).

Für den Taschenrechner (dieser kann meist nur mit dem Logarithmus zur Basis 10 und mit dem natürlichen Logarithmus rechnen) umformen:

x = log₁₀ 27 / log₁₀ 3 = 3 (Logarithmus von 27 zur Basis 10 geteilt durch Logarithmus von 3 zur Basis 10)

(Taschenrechner: 27 und LOG-Taste geteilt durch 3 und LOG-Taste).

Beispiel 2: Exponentialgleichung mit Exponentenvergleich lösen

Eine einfache Form des Exponentenvergleichs sieht so aus:

3^x = 27

Nun schreiben wir 27 als 3³ und setzen dies in die Gleichung ein:

3^x = 3³

Die Exponenten müssen übereinstimmen, damit die Gleichung stimmt; x muss dann 3 sein.

Etwas komplexer (Potenzgesetze anwenden):

$$16^x = 4$$

$$(2^4)^x = 2^2$$

Mit dem Potenzgesetz $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$ gilt:

$$2^{4 \cdot x} = 2^2$$

4x muss dann gleich 2 sein, daraus folgt, dass x = 0,5 ist.

Kontrolle:

$$16^{0,5} = 4$$

Der Exponentenvergleich setzt allerdings gleiche Basen voraus (im ersten Beispiel die Zahl 3, im zweiten die Zahl 2) und kommt deshalb nur selten in Betracht.