Gauß-Jordan-Algorithmus

Gauß-Jordan-Algorithmus Definition

Mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus kann zum einen eine inverse Matrix berechnet werden (siehe Beispiel 1 unten).

Grundidee: A × I = E (in Worten: Matrix mal Inverse der Matrix gleich Einheitsmatrix).

Zum anderen können damit lineare Gleichungssysteme gelöst werden (siehe Beispiel 2 unten).

Beispiele

Beispiel 1: Inverse einer Matrix mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnen

Folgende Matrix soll invertiert werden:

$$\left( \begin{array}{ccc} 1&2&0 \\ 2&2&0 \\ 0&2&1 \end{array} \right)$$

Schritt 1: neben die (zu invertierende) Matrix rechts die Einheitsmatrix schreiben:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 2&2&0&0&1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$

Schritt 2: durch Umformungen die Einheitsmatrix nach links bringen, dann steht als Ergebnis rechts die inverse Matrix.

Mögliche Umformungen:

  • Multiplikation von Zeilen mit einer reellen Zahl ungleich 0;
  • Addition oder Subtraktion von Zeilen;
  • Addition oder Subtraktion einer zuvor mit einer Zahl ungleich 0 multiplizierten Zeile zu einer anderen Zeile.

1. Umformung: Die 2. Zeile wird mit -1 multipliziert (alle Vorzeichen wechseln) und das Zweifache der 1. Zeile wird zur 2. Zeile addiert, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&2&1&0&0&1 \end{array} \right)$$

2. Umformung: Von der 3. Zeile wird die 2. Zeile abgezogen, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&2&0&2&-1&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$

3. Umformung: Die 2. Zeile wird durch 2 geteilt, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&2&0&1&0&0 \\ 0&1&0&1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$

4. und letzte Umformung: Das Zweifache der 2. Zeile wird von der 1. Zeile abgezogen, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|ccc} 1&0&0&-1&1&0 \\ 0&1&0&1&-\frac{1}{2}&0 \\ 0&0&1&-2&1&1 \end{array} \right)$$

Auf der rechten Seite steht jetzt die inverse Matrix (und links die Einheitsmatrix):

$$\left( \begin{array}{ccc} -1&1&0 \\ 1&-\frac{1}{2}&0 \\ -2&1&1 \end{array} \right)$$

Beispiel 2: Lineares Gleichungssystem mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus berechnen

Wir nehmen die obige Matrix, interpretieren diese aber als Koeffizientenmatrix für folgendes Gleichungssystem:

1x + 2y +0z = 5

2x + 2y +0z = 6

0x + 2y +1z = 7

Das kann man als Matrix inkl. der rechten Seite der Gleichungen so schreiben

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 2&2&0&6 \\ 0&2&1&7 \end{array} \right)$$

Nun wieder durch Umformungen links eine Einheitsmatrix bilden. Dazu nehmen wir dieselben Umformungen wie in Beispiel 1, nur die rechte Seite ist anders.

1. Umformung: Die 2. Zeile wird mit -1 multipliziert (alle Vorzeichen wechseln) und das Zweifache der 1. Zeile wird zur 2. Zeile addiert, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&2&0&4 \\ 0&2&1&7 \end{array} \right)$$

2. Umformung: Von der 3. Zeile wird die 2. Zeile abgezogen, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&2&0&4 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$

3. Umformung: Die 2. Zeile wird durch 2 geteilt, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&2&0&5 \\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$

4. und letzte Umformung: Das Zweifache der 2. Zeile wird von der 1. Zeile abgezogen, Ergebnis:

$$\left( \begin{array}{ccc|c} 1&0&0&1 \\ 0&1&0&2 \\ 0&0&1&3 \end{array} \right)$$

Jetzt sind die Koeffizienten x, y und z links isoliert und auf der rechten Seite kann man die Lösung des Gleichungssystems ablesen: x = 1, y = 2 und z = 3.

Kontrolle:

$$1 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +0 \cdot 3 = 5$$

$$2 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +0 \cdot 3 = 6$$

$$0 \cdot 1 + 2 \cdot 2 +1 \cdot 3 = 7$$