Inverse Matrix

Inverse Matrix Definition

Nur eine quadratische Matrix A (z.B. eine Matrix mit 2 Zeilen und 2 Spalten) kann eine inverse Matrix (die dann mit A-1 bezeichnet wird) haben.

Voraussetzung: A ist eine reguläre Matrix, d.h. die Determinante von A ist ungleich 0 (ist die Determinante = 0, liegt eine singuläre Matrix vor, die nicht invertierbar ist).

Multipliziert man die inverse Matrix A-1 zu einer Matrix A mit dieser Matrix A, erhält man die Einheitsmatrix E (bei der nur die Zahlen auf der oben links beginnenden absteigenden Diagonalen 1 und alle anderen Zahlen 0 sind).

$$A \cdot A^{-1} = E$$

und (Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge)

$$A^{-1} \cdot A = E$$

Für eine Diagonalmatrix ist eine inverse Matrix leicht zu bilden: die Werte auf der Hauptdiagonalen (kein Wert auf der Hauptdiagonalen darf 0 sein, sonst ist die Determinante 0 und die Matrix nicht invertierbar) werden einfach durch deren Kehrwerte ersetzt, also 1/2 für 2, 1/3 für 3 usw.

Aus der Matrix A

$$A= \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{pmatrix}$$

resultiert entsprechend die inverse Matrix A -1:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}\frac{1}{1} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

Für andere Matrizen sind Algorithmen wie das Gauß-Jordan-Verfahren anwendbar.

Alternative Begriffe: Inverse, Kehrmatrix, Matrix invertieren, Matrixinverse.

2x2-Matrix invertieren

Beispiel

Für die folgende 2 × 2-Matrix A soll die Inverse gebildet werden:

$$A = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$$

Stellt man die Matrix allgemein mit Kleinbuchstaben dar ...

$$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$

... lautet die Formel zur Berechnung der 2 x 2 Inversen:

$$\frac{1}{a \cdot d - b \cdot c} \cdot \begin{pmatrix}d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$$

Dabei ist der Nenner des Bruchs die Determinante der Matrix; mit Zahlen:

$$\frac{1}{1 \cdot 4 - 2 \cdot 3} \cdot \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}$$

$$= -\frac{1}{2} \cdot \begin{pmatrix}4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Die Inverse 2 x 2 ist also:

$$A^{-1} = \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

Kontrolle:

$$A \cdot A^{-1} = \begin{pmatrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix}-2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 \cdot -2 + 2 \cdot \frac{3}{2} & 1 \cdot 1 + 2 \cdot -\frac{1}{2} \\ 3 \cdot -2 + 4 \cdot \frac{3}{2} & 3 \cdot 1 + 4 \cdot -\frac{1}{2} \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Die Multiplikation in umgekehrter Reihenfolge ($A^{-1} \cdot A$) gibt dasselbe Ergebnis, die Einheitsmatrix.