Definition
Der Grenzwert eines Quotienten von zwei Termen entspricht dem Quotienten der Grenzwerte der beiden Terme (dabei wird vorausgesetzt, dass diese Grenzwerte existieren).
Beispiel
Beispiel: Grenzwert eines Quotienten berechnen
Es soll folgender Grenzwert berechnet werden:
$$\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2}{(x - 1)}$$
Der Quotient, für den der Grenzwert berechnet werden soll, ist also $\frac{x^2}{(x - 1)}$.
Der Grenzwert für den Term x2 im Zähler des Bruchs für x gegen 3 ist 9 (einfach x durch den Wert, gegen den x laufen soll, ersetzen):
$$\lim\limits_{x \to 3} x^2 = 9$$
Der Grenzwert für den Term (x - 1) im Nenner des Bruchs für x gegen 3 ist 2.
$$\lim\limits_{x \to 3} x - 1 = 2$$
Der Grenzwert für den Quotienten ist deshalb 9/2 = 4,5.
(In dem Beispiel hätte man auch direkt 3 für x in den Quotienten einsetzen können, die Grenzwertregel für Quotienten wäre hier nicht notwendig. Sie hilft aber oft bei x gegen plus / minus unendlich.)
Fazit
- limx → a f(x)/g(x) = lim f(x) / lim g(x), sofern limx → a g(x) ≠ 0
- Ist lim g(x) = 0, entsteht ein unbestimmter Ausdruck – dann Faktorisieren oder Regel von L’Hospital anwenden
- Ergibt auch der Zähler 0, liegt der Typ 0/0 vor; ergibt nur der Nenner 0, geht der Ausdruck gegen ±∞
Selbsttest: Grenzwert eines Quotienten
Aufgabe: Grenzwert eines Quotienten
Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mithilfe der Quotientenregel:
limx → 3 (x2 + 2) / (x + 1)
Nenner-Grenzwert prüfen: limx → 3 (x + 1) = 4 ≠ 0 → Quotientenregel anwendbar
Quotientenregel anwenden: lim (x2 + 2)/(x + 1) = lim (x2 + 2) / lim (x + 1)
Einsetzen (x = 3):
limx → 3 (x2 + 2) = 32 + 2 = 11
limx → 3 (x + 1) = 4
Ergebnis: 11 / 4 = 2,75