Regel von L'Hospital

Regel von L'Hospital Definition

Wenn man versucht, einen Grenzwert zu berechnen, kann es sein, dass das Ergebnis ein sog. unbestimmter Ausdruck wie $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ist und das Berechnen des Grenzwerts scheitert.

Beispiel

Es soll folgender Grenzwert für x gegen 1 berechnet werden:

$$\lim\limits_{x\to1} \frac{ln (x)}{x^3 - 1}$$

Zähler: der natürliche Logarithmus ln (x) für x = 1 ist 0 (Taschenrechner: 1 und LN-Taste).

Nenner: 13 ist 1, davon 1 abgezogen ist 0.

Das Ergebnis ist somit ein unbestimmter Ausdruck $\frac{0}{0}$.

Mit der Regel von L'Hospital kann man versuchen, über den Umweg der abgeleiteten Funktionen den Grenzwert zu berechnen.

ln (x) im Zähler abgeleitet ist 1/x (Ableitung des natürlichen Logarithmus). Für x gegen 1 geht der Zähler 1/x gegen 1.

(x3 - 1) im Nenner abgeleitet ist 3x2 (Ableitung der Potenzfunktion). Für x gegen 1 geht der Nenner gegen 3 × 12 = 3.

Der Grenzwert ist somit 1/3.

Teilweise muss man die Regel von L'Hospital auch mehrmals anwenden, sie funktioniert aber nicht in jedem Fall.