Definition
Wenn man versucht, einen Grenzwert zu berechnen, kann es sein, dass das Ergebnis ein sogenannter unbestimmter Ausdruck wie $\frac{0}{0}$ oder $\frac{\infty}{\infty}$ ist und das Berechnen des Grenzwerts scheitert.
Alternative Begriffe: Hospitalsche Regel, Regel von de l'Hospital, Regel von l'Hopital, Satz von l'Hospital.
Beispiel
Beispiel: Problem und Lösung
Es soll folgender Grenzwert für x gegen 1 berechnet werden:
$$\lim\limits_{x\to1} \frac{ln (x)}{x^3 - 1}$$
Zähler: der natürliche Logarithmus ln (x) für x = 1 ist 0 (Taschenrechner: 1 und LN-Taste).
Nenner: 13 ist 1, davon 1 abgezogen ist 0.
Das Ergebnis ist somit ein unbestimmter Ausdruck $\frac{0}{0}$.
Mit der Regel von L'Hospital kann man versuchen, über den Umweg der abgeleiteten Funktionen den Grenzwert zu berechnen.
ln (x) im Zähler abgeleitet ist 1/x (Ableitung des natürlichen Logarithmus). Für x gegen 1 geht der Zähler 1/x gegen 1.
(x3 - 1) im Nenner abgeleitet ist 3x2 (Ableitung der Potenzfunktion). Für x gegen 1 geht der Nenner gegen 3 × 12 = 3.
Der Grenzwert ist somit 1/3.
Teilweise muss man die Regel von L'Hospital auch mehrmals anwenden, sie funktioniert aber nicht in jedem Fall.
Fazit
- Bei unbestimmten Ausdrücken 0/0 oder ∞/∞: Zähler und Nenner separat ableiten, dann Grenzwert berechnen
- lim f(x)/g(x) = lim f′(x)/g′(x) – sofern der neue Grenzwert existiert
- Manchmal muss die Regel mehrfach angewendet werden; sie funktioniert nicht in jedem Fall
- Andere Formen (0 · ∞, ∞ − ∞) erst algebraisch in 0/0 oder ∞/∞ umformen
Selbsttest: Regel von L'Hospital
Aufgabe: Regel von L'Hospital
Berechnen Sie den folgenden Grenzwert mit der Regel von L'Hospital (kürzen Sie die Funktion zunächst nicht):
limx → 2 (x2 − 4) / (x − 2)
Typ prüfen: x = 2 einsetzen: (4 − 4)/(2 − 2) = 0/0 → L'Hospital anwendbar
Ableiten:
Zähler: f(x) = x2 − 4 → f′(x) = 2x
Nenner: g(x) = x − 2 → g′(x) = 1
Grenzwert der abgeleiteten Funktion:
limx → 2 2x / 1 = 2 · 2 = 4