Idempotente Matrix
Idempotente Matrix Definition
Eine quadratische Matrix A ist idempotent, wenn A2 = A (wenn also die Matrix A im Quadrat gleich der Matrix A ist.)
Beispiel
Beispiel: Idempotente Matrix
Die quadratische Matrix A
$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$
ist idempotent, denn das Quadrat der Matrix A ist wieder die Matrix A:
$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$
Daraus ergibt sich mit Matrizenmultiplikation:
$$= \begin{pmatrix}2 \cdot 2 + 1 \cdot -2 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot -1 \\ -2 \cdot 2 + -1 \cdot -2 & -2 \cdot 1 + -1 \cdot -1 \end{pmatrix}$$
$$= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$
Eine weitere Potenzierung einer idempotenten Matrix (zum Beipiel kubische Potenz A3) führt natürlich wieder zu demselben Ergebnis (der Ausgangsmatrix).