Idempotente Matrix

Idempotente Matrix Definition

Eine quadratische Matrix A ist idempotent, wenn A2 = A (wenn also die Matrix A im Quadrat gleich der Matrix A ist.)

Beispiel

Beispiel: Idempotente Matrix

Die quadratische Matrix A

$$\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$

ist idempotent, denn das Quadrat der Matrix A ist wieder die Matrix A:

$$A^2 = A \cdot A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$

Daraus ergibt sich mit Matrizenmultiplikation:

$$= \begin{pmatrix}2 \cdot 2 + 1 \cdot -2 & 2 \cdot 1 + 1 \cdot -1 \\ -2 \cdot 2 + -1 \cdot -2 & -2 \cdot 1 + -1 \cdot -1 \end{pmatrix}$$

$$= \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -2 & -1 \end{pmatrix}$$

Eine weitere Potenzierung einer idempotenten Matrix (zum Beipiel kubische Potenz A3) führt natürlich wieder zu demselben Ergebnis (der Ausgangsmatrix).