Implizites Differenzieren

Implizites Differenzieren Definition

Implizites Differenzieren wendet man vor allem an, wenn man eine Funktion hat, die sich nicht als explizite, sondern nur als implizite Funktion ausdrücken lässt.

Um das Vorgehen zu zeigen (und das Ergebnis zu überprüfen), nehmen wir im folgenden aber ein Beispiel, wo es eine explizite und implizite Form gibt.

Beispiel

Das Beispiel zur impliziten Funktion war:

y = 6 - x (als explizite Funktion)

2x + 2y = 12 (als gleichwertige implizite Funktion)

Beide Funktionen stellen dasselbe – nur anders – dar (was man leicht überprüfen kann, wenn man y = 6 - x in die implizite Gleichung einsetzt).

Die 1. Ableitung der expliziten Funktion ist einfach: y' = -1.

Zu demselben Ergebnis mit der impliziten Ableitung zu kommen, ist etwas aufwändiger (aber manchmal notwendig).

Zunächst formen wir die implizite Gleichung um:

f (x, y) = 2x + 2y - 12 = 0

Die Funktion f(x, y) hängt von x und y ab (wobei y wiederum eine Funktion von x ist, was die explizite Form zeigt).

dy/dx kann dann allgemein mit einer einfachen Formel berechnet werden:

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{f_x (x, y)}{f_y (x, y)}$$

Dabei ist fx (x, y) die partielle Ableitung nach x und fy (x, y) die partielle Ableitung nach y.

$$\frac{dy}{dx} = - \frac{2}{2} = - 1$$

(Erläuterung: wenn man 2x + 2y - 12 partiell nach x ableitet, ist das 2, da die 2y und die -12 als Konstanten betrachtet werden und damit bei der Ableitung wegfallen und die Ableitung von 2x nach x ist 2.

Wenn man 2x + 2y - 12 partiell nach y ableitet, ist das ebenfalls 2, da die 2x und die -12 als Konstanten betrachtet werden und damit bei der Ableitung wegfallen und die Ableitung von 2y nach y ist 2.)

Das Ergebnis von -1 ist dasselbe wie bei der Ableitung der expliziten Funktion.

Alternative Begriffe: Implizit ableiten, implizit differenzieren, implizite Ableitung, implizites Ableiten.