Umkehrfunktion

Umkehrfunktion Definition

Die Umkehrfunktion von $f(x) = y = 2x$ wäre z.B. $f^{-1}(x) = \frac{x}{2}$.

Umkehrfunktion bilden: Dazu löst man

  • die Funktionsgleichung y = 2x zunächst nach x auf (ergibt: $x = \frac{y}{2}$)
  • und vertauscht dann x und y (ergibt $y = \frac{x}{2}$).

Die Umkehrfunktion wird durch f für Funktion mit hochgestelltem -1 gekennzeichnet.

Mit anderen Worten: wendet man zuerst die Funktion f auf x an, dann die Umkehrfunktion f-1 auf das Ergebnis, kommt man wieder zum Ausgangspunkt x zurück (für alle x aus dem Definitionsbereich):

$$f(f^{-1}(x)) = 2 \cdot \frac{x}{2} = x$$

Und umgekehrt:

$$f^{-1}(f(x)) = \frac{2x}{2} = x$$

Nicht jede Funktion hat eine Umkehrfunktion.

So ist z.B. f(x) = x2 nicht umkehrbar, da die Zuordnung nicht eineindeutig ist: f(3) = 32 = 9 und f(-3) = (-3)2 = 9, man erhält hier für zwei verschiedene x denselben Funktionswert y.

Nur eineindeutige Funktionen wie z.B. die Funktion f(x) = 2x, die einem x genau ein y und einem y genau ein x zuordnen, sind umkehrbar. Mit anderen Worten: wenn ich y kenne, muss ich sagen können, was x war (und nicht wie bei f(x) = x2, wo ich für y = 9 nicht sagen kann, ob x = 3 oder x = -3 war).

Alternative Begriffe: inverse Funktion.

Beispiele für Umkehrfunktionen

Beispiel: Umkehrfunktion der e-Funktion (Exponentialfunktion)

Die e-Funktion ist (dabei ist e die Eulersche Zahl 2,71828 (mit hier 5 Nachkommastellen)):

$$f(x) = y = e^x$$

1. Schritt: nach x auflösen (das ist hier nicht ganz einfach, dafür wird der natürliche Logarithmus ln benötigt):

$$x = ln(y)$$

Anschließend x und y vertauschen:

$$y = ln(x)$$

Die Umkehrfunktion der e-Funktion $f(x) = e^x$ ist $f^{-1} = ln(x)$, also die natürliche Logarithmusfunktion.

Wenn man z.B. x = 2 setzt, erhält man:

$$f(2) = e^2 = 2,71828^2 = 7,389046$$

Dieses Ergebnis in die Umkehrfunktion eingesetzt führt wieder zum Ausgangswert von x = 2 (Differenzen resultieren aus Rundungsfehlern):

$$f^{-1}(7,389046) = ln(7,389046) = 1,999998633 = 2$$

Beispiel: Umkehrfunktion einer Potenzfunktion

Eine Potenzfunktion:

$$f(x) = y = x^3$$

1. Schritt: nach x auflösen:

$$x = \sqrt[3]{y}$$

2. Schritt: x und y vertauschen:

$$y = \sqrt[3]{x}$$

Die Umkehrfunktion ist also die Kubikwurzel.

Wenn man z.B. x = -3 setzt, erhält man:

$$f(-3) = -3^3 = -27$$

Dieses Ergebnis in die Umkehrfunktion eingesetzt führt wieder zum Ausgangswert von x = -3:

$$f{^-1}(-27) = \sqrt[3]{-27} = -3$$

Ableitung der Umkehrfunktion

Eine Umkehrfunktion ist eine Funktion und lässt sich in den meisten Fällen wie jede andere Funktion auch ableiten. Manchmal ist aber eine alternative Berechnung über folgende Formel sinnvoll:

$$(f^{-1}(x))' = \frac{1}{f '(f^{-1}(x))}$$

Beispiel: Umkehrfunktion ableiten

Die obige Funktion war f(x) = 2x und deren Umkehrfunktion war $f^{-1}(x) = \frac{x}{2} = \frac{1}{2}x$.

In dem Fall kann man die Umkehrfunktion ganz einfach direkt ableiten: $(f^{-1}(x))' = (\frac{1}{2}x)' = \frac{1}{2}$ (Ableitung mit Faktor).

Mit der obigen Formel (sogenannte Umkehrregel) geht es so:

$$\left (\frac{x}{2} \right )' = \frac{1}{f'(\frac{x}{2})}$$

Die Ableitung der Funktion f(x) = 2x ist f '(x) = 2 und dann ist sie auch für $\frac{x}{2}$ gleich 2:

$$(\frac{x}{2})' = \frac{1}{2}$$

Umkehrfunktion und Funktion identisch

Die Funktion $f(x) = y = x$ hat eine identische Umkehrfunktion, also $f(x) = f^{-1}(x)$; ebenso die Funktion $f(x) = y = -x$