Kettenregel

Kettenregel Definition

Mit der Kettenregel lassen sich verkettete Funktionen ableiten; das sind Funktionen von Funktionen, d.h.: mit x wird etwas gemacht (Funktion) und mit dem Ergebnis wird wieder etwas gemacht (eine andere Funktion).

Beispiel

Die verkettete Funktion sei f(x) = (x + 1)².

Dahinter stecken 2 Funktionen (Berechnungen): die sog. innere Funktion ist (x + 1), zählt also einfach 1 zu x dazu; die sog. äußere Funktion ist x², quadriert also x (wobei x für die innere Funktion, also x + 1 steht).

Die 1. Ableitung der verketteten Funktion entsteht, indem

• die äußere Funktion (also x²) abgeleitet wird, das ergibt 2x (äußere Ableitung);
• dann die innere Funktion (x + 1) für das x oben eingesetzt wird, also 2 × (x + 1) und
• zuletzt das Ganze mit der 1. Ableitung der inneren Funktion multipliziert wird (sogenanntes Nachdifferenzieren); (x + 1) ist abgeleitet 1 (innere Ableitung), also 2 × (x + 1) × 1 = 2x + 2.

Die Kettenregel allgemein als Formel (mit f als äußere, g als innere und y als verkettete Funktion):

$$y = f(g(x)) \to y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

Es können auch 3 oder mehr Funktionen verkettet sein, dann muss die Kettenregel mehrfach angewendet werden.