Produkt- und Kettenregel
Produkt- und Kettenregel Definition
Um manche komplexere Funktionen abzuleiten, muss man die Produktregel und die Kettenregel zusammen anwenden.
Beispiel
Beispiel: Produkt- und Kettenregel kombiniert
Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x} \cdot sin(4x)$ soll abgeleitet werden.
$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{-1}$ schreiben:
$$f(x) = x^{-1} \cdot sin(4x)$$
Analyse der Funktion
Das ist zum einen ein Produkt mit den beiden Faktoren x-1 und sin(4x).
Zum anderen ist das eine verkettete Funktion, da die Sinus-Funktion die 4x "verarbeitet".
Es sind deshalb die Produkt- und Kettenregel gleichzeitig anzuwenden.
Produkt- und Kettenregel anwenden
Nach der Produktregel sind 2 Teile zu berechnen und aufzuaddieren:
1. Teil: 1. Ableitung des ersten Faktors des Produkts mal zweiter Faktor:
$$-x^{-2} \cdot sin(4x)$$
Dabei ist -x-2 die 1. Ableitung von x-1 (siehe Potenzfunktion ableiten).
2. Teil: Erster Faktor mal 1. Ableitung des zweiten Faktors:
$$x^{-1} \cdot cos (4x) \cdot 4$$
Hier muss für den zweiten Faktor die Kettenregel angewandt werden: cos(x) ist die Ableitung der äußeren Funktion sin(x), anschließend wird die innere Funktion 4x nachdifferenziert, das ergibt 4.
Ergebnisse zusammenführen
Beide Teile aufaddieren:
$$f'(x) = -x^{-2} \cdot sin(4x) + x^{-1} \cdot cos (4x) \cdot 4$$
Etwas umgeschrieben:
$$-\frac{sin(4x)}{x^2} + \frac{4 \cdot cos(4x)}{x}$$