Produkt- und Kettenregel

Produkt- und Kettenregel Definition

Um manche komplexere Funktionen abzuleiten, muss man die Produktregel und die Kettenregel zusammen anwenden.

Beispiel

Die Funktion $f(x) = \frac{1}{x} \cdot sin(4x)$ soll abgeleitet werden.

$\frac{1}{x}$ kann man auch als $x^{-1}$ schreiben:

$$f(x) = x^{-1} \cdot sin(4x)$$

Das ist zum einen ein Produkt mit den beiden Faktoren x^-1 und sin(4x).

Zum anderen ist das eine verkettete Funktion, da die Sinus-Funktion die 4x "verarbeitet".

Es sind deshalb die Produkt- und Kettenregel gleichzeitig anzuwenden.

Nach der Produktregel sind 2 Teile zu berechnen und aufzuaddieren:

1. Teil: 1. Ableitung des ersten Faktors des Produkts mal 2. Faktor:

$$-x^{-2} \cdot sin(4x)$$

Dabei ist -x^-2 die 1. Ableitung von x^-1 (vgl. Potenzfunktion ableiten).

2. Teil: 1. Faktor mal 1. Ableitung des zweiten Faktors:

$$x^{-1} \cdot cos (4x) \cdot 4$$

Hier muss die Kettenregel angewandt werden: cos(x) ist die Ableitung der äußeren Funktion sin(x), anschließend wird die innere Funktion 4x nachdifferenziert, das ergibt 4.

Beide Teile aufaddieren:

$$f'(x) = -x^{-2} \cdot sin(4x) + x^{-1} \cdot cos (4x) \cdot 4$$

Etwas umgeschrieben:

$$-\frac{sin(4x)}{x^2} + \frac{4 \cdot cos(4x)}{x}$$