Höhere Ableitungen
Höhere Ableitungen Definition
Höhere Ableitungen sind die zweite Ableitung, dritte Ableitung, vierte Ableitung u.s.w.; sie werden seltener gebraucht als die 1. Ableitung, aber z.B. bei der Kurvendiskussion für die Bestimmung von Maxima und Minima.
Im folgenden soll kurz der Zusammenhang zwischen einer Funktion und ihren verschiedenen Ableitungen gezeigt werden.
Beispiel
Die Funktion sei f(x) = x3. Dabei sei x die Seitenlänge eines Würfels, dann gibt die Funktion das Volumen des Würfels an, z.B. bei 2 cm Seitenlänge: f(2) = 23 = 8,000 (Kubikzentimeter).
Die 1. Ableitung der Funktion f(x) = x3 ist f'(x) = 3x2. Das ist die Änderungsrate (Wachstumsrate des Würfelvolumens); an der Stelle 2: f'(2) = 3 × 22 = 3 × 4 = 12.
Dass das stimmt, kann man sehen, wenn man x marginal um z.B. 0,001 cm (also ein Tausendstel cm) erhöht. f(2,001) = 2,0013 = 8,012. D.h., eine Änderung von x um 0,001 bewirkt eine Erhöhung des Funktionswerts um den Faktor 12 dieser Änderung (12 × 0,001 = 0,012).
Die 2. Ableitung der Funktion f(x) = x3 ist f''(x) = 6x.
Das ist die Änderungsrate der Änderungsrate (des Volumenwachstums).
Die 2. Ableitung an der Stelle x = 2 ist z.B. f''(2) = 6 × 2 = 12.
Auch das lässt sich überprüfen:
Die 1. Ableitung an der Stelle 2 war f'(2) = 12.
Die 1. Ableitung bei einer marginalen Erhöhung um 0,001 ist f'(2,001) = 3 × 2,0012 = 12,012.
D.h., eine Erhöhung um 0,001 bewirkt eine 12-fache Erhöhung um 0,012 bei dem Wert der 1. Ableitung (dass hier an der Stelle x = 2 sowohl bei der 1. als auch bei der 2. Ableitung der Wert 12 herauskommt, ist Zufall).
Die 3. Ableitung der Funktion f(x) = x3 ist f'''(x) = 6.
Es wird also für die 2. Ableitung die 1. Ableitung abgeleitet, für die 3. Ableitung dann die 2. Ableitung u.s.w.