Koeffizientenmatrix

Beispiel: Koeffizientenmatrix

Ein lineares Gleichungssystem bestehe aus 3 Gleichungen mit 3 Variablen x, y und z:

x + y = 3

2x - 2y = -2

2x + z = 5

Koeffizientenmatrix aufstellen

Überträgt man die Koeffizienten (die Zahlen vor den x, y und z) auf der linken Seite der Gleichungen in eine Matrix, ist das die Koeffizientenmatrix:

$$\left[ \begin{array}{ccc} 1&1&0 \\ 2&-2&0 \\ 2&0&1 \end{array} \right]$$

Dabei kommt die 0 zum Beispiel in Zeile 1 daher, dass in der Gleichung 1 keine Variable z vorkommt, diese also einen Koeffizienten bzw. Faktor 0 hat: 0z; analog in Zeile 2 für das z und in Zeile 3 für das y.

Um Übertragungsfehler zu vermeiden, kann man das lineare Gleichungssystem auch zunächst um die Variablen mit dem Faktor 0 erweitern und statt x auch 1x schreiben (analog für y und z):

1x + 1y +0z = 3

2x - 2y + 0z= -2

2x + 0y + 1z = 5

Nun kann man die Koeffizienten direkt in die jeweilige Position der Koeffizientenmatrix übertragen, ohne die Gefahr, zu verrutschen.

Erweiterte Koeffizientenmatrix

Überträgt man zusätzlich noch die Zahlen auf der rechte Seite, ist das die erweiterte Koeffizientenmatrix (dabei kann man die linke und die rechte Seite der Gleichungen durch einen senkrechten Strich hervorheben):

$$\left[ \begin{array}{ccc|c} 1&1&0&3 \\ 2&-2&0&-2 \\ 2&0&1&5 \end{array} \right]$$

Lösung

Der Vollständigkeit halber hier die Lösung, die mit dem Gauß-Algorithmus gefunden wurde:

x = 1, y= 2, z = 3.

Kontrolle (die Werte in die ausformulierte Matrix eingesetzt):

$$1 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = 3$$

$$2 \cdot 1 - 2 \cdot 2 + 0 \cdot 3 = -2$$

$$2 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 3 = 5$$