Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen Definition

Konvergenz beschreibt, wie sich eine Folge verhält, wenn ihr Index immer weiter erhöht wird.

Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat.

Beispiel

Erhöht man für die Zahlenfolge $a_n = \frac{1}{n} + 2$ den Index n immer weiter, z.B. zunächst auf 100, wird der erste Teil des Terms 1/n immer weniger wert (1/100); bei einem Index von 10.000 ist $a_{10.000}$ gleich $\frac{1}{10.000} + 2$, d.h. nur wenig mehr als 2.

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 2.

Konvergiert eine Folge gegen 0, nennt man diese Nullfolge.

Eine konvergente Folge ist auch immer beschränkt.

Die Folge $a_n = 2 + \frac{n}{2}$ hingegen wäre ein Beispiel für eine Folge, die nicht gegen einen Grenzwert konvergiert, sondern divergiert (für zunehmende n wird $a_n$ immer größer, ein Grenzwert ist nicht in Sicht).