Konvergenz von Folgen

Konvergenz von Folgen Definition

Konvergenz beschreibt, wie sich eine Folge verhält, wenn ihr Index immer weiter erhöht wird.

Eine Folge ist konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat.

Beispiel

Erhöht man für die Zahlenfolge $a_n = \frac{1}{n} + 2$ den Index n immer weiter, z.B. zunächst auf 100, wird der erste Teil des Terms 1/n immer weniger wert (1/100); bei einem Index von 10.000 ist $a_{10.000}$ gleich $\frac{1}{10.000} + 2$, d.h. nur wenig mehr als 2.

Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert 2.

Mathematisch (mit lim für limes, lateinisch für den Grenzwert der Folge):

$$\lim\limits_{n\to\infty} a_n = \lim\limits_{n\to\infty} (\frac{1}{n} + 2) = 2$$

Konvergiert eine Folge gegen 0, nennt man diese Nullfolge.

Eine konvergente Folge ist auch immer beschränkt.

Die Folge $a_n = 2 + \frac{n}{2}$ hingegen wäre ein Beispiel für eine Folge, die nicht gegen einen Grenzwert konvergiert, sondern divergiert (für zunehmende n wird $a_n$ immer größer, ein Grenzwert ist nicht in Sicht).

Rechenregeln für Grenzwerte von Folgen

Hat man zwei konvergente Folgen mit entsprechend zwei Grenzwerten, gilt:

  • der Grenzwert der Summe der beiden Folgen ist gleich der Summe der Grenzwerte;
  • der Grenzwert der Differenz der beiden Folgen ist gleich der Differenz der Grenzwerte;
  • der Grenzwert des Produktes der beiden Folgen ist gleich dem Produkt der Grenzwerte;
  • der Grenzwert des Quotienten der beiden Folgen ist gleich dem Quotienten der Grenzwerte.

Beispiele

Eine Folge sei wie oben $a_n = \frac{1}{n} + 2$ mit dem Grenzwert 2; eine andere Folge sei $b_n = \frac{1}{n} + 1$ mit dem Grenzwert 1.

Dann ist der Grenzwert der Summe der beiden Folgen $a_n + b_n = \frac{1}{n} + 2 + \frac{1}{n} + 1$ gleich der Summe der Grenzwerte: 2 + 1 = 3.

Der Grenzwert des Produktes der beiden Folgen $a_n \cdot b_n = (\frac{1}{n} + 2) \cdot (\frac{1}{n} + 1)$ ist gleich dem Produkte der Grenzwerte: $2 \cdot 1 = 2$.